Care este suma dintre un număr raţional şi unul iraţional?

Observație

Multe din teoremele de mai jos sunt întâlnite la concursuri.
Teoremă, exemple

Teorema
Produsul dintre un număr rațional nenul și un număr irațional este irațional.
sau altfel spus
a rațional nenul, b irațional => ab este irațional.
(b poate fi un număr irațional cu radical sau nu)
Demonstrație
a rațional nenul și b irațional.
Demonstrăm că x=ab este irațional.
Presupunem prin absurd că x ar fi rațional. Din x=ab => b = x/a, fals pentru că
1) x/a este rațional ca raport de numere raționale,
2) iar b este irațional.
Exemple
11 este rațional nenul, √6 irațional => 11· √6;
Analog 8·√3 este irațional.
Corolar important (Consecință importantă)

Corolarul
Dacă produsul dintre un număr rațional a și un număr irațional b este rațional, atunci numărul rațional a este nul.
sau
a rațional, b irațional, ab rațional => a=0.
Demonstrație:
Dacă a nu ar fi egal cu 0,
atunci conform teoremei 8 ar rezulta că ab ar fi irațional, fals.
Exemplu
Aflați numerele raționale x pentru care (x²-25) √7 este rațional.
Rezolvare:
x este rațional, 25 este rațional, deci numărul x²-25 este rațional.
x²-25 este rațional și √7 este irațional, deci, cu teorema de mai sus,
rezultă că numărul rațional x² – 25 =0.
x² – 25 =0 x²=25 x = ±5 raționale.
Teoremă

Teorema
Dacă a este rațional nenul și b este irațional, atunci suma lor, produsul lor, câtul lor, sunt numere iraționale
Exemple
11 √6; 8+√3; 3+π, unde π este un număr irațional aproximativ egal cu 3, 14 și apare la cerc.

Numarul rational e acela care poate fi exprimat ca un raport de numere intregi(2=2/1, 0, 5=1/2, -7= -7/1).
Cel irational e cel care nu poate fi scris asa (numarul pi, numarul e, radical din 2 sau orice radical care nu are ca rezultat un numar rational)