Buna!


Imi poate explica si mie cineva cum se fac exercitiile cu aranjamente si combinari la mate?

Ai un sac cu 10 bile.
Vrei sa pui 3 bile intr-un alt sac. Daca te intereseaza in cate moduri ai fi putut ales acele 3 bile, aplici formula de la combinari intrucat nu te intereseaza ordinea intre cele 3 bile. Daca ai in sacul respectiv 2 bile galbene si 1 rosie, nu ai cum sa stii daca bilele au intrat in sac in ordinea : galben - galben - rosu sau galben - rosu - galben etc. (pentru ca nu iti pasa, tu vrei doar sa stii in cate moduri ai putut alege bilele).

La aranjamente este asemanator, numai ca aici te intereseaza si ordinea.

EX:
Intr-o clasa sunt 20 de elevi dintre care 12 sunt fete. In cate moduri se poate forma comitetul clasei, stiind ca intr-un comitet sunt 2 baieti si o fata.
Notez (k, n) = combinari de n elemente luate cate k
si [k, n] = aranjari de n elemente luate cate k

Raspuns:
sunt 20-12 = 8 baieti.
(2, 8) * (1, 12) = (8 * 7 / 2) * (12 / 1) = 28 * 12 = 336.

Alta probleme: stiind datele problemei de mai sus, comitetul trebuie sa se prezinte pe un podium. In cate moduri se pot prezenta.
(! aici te intereseaza ordinea). (dar atentie, nu e neaparat cu aranjari (explicatia e la final))
P(n) = permutari de n elemente
Raspuns:
(2, 8)* (1, 12)* P(3) = 336 * 6 = 2016 moduri de a se prezenta pe podium

Aici este o capcana. Daca ai fi scris la raspuns
[2, 8] * [1, 12] ar fi gresit pentru ca tu aranjezi baietii dar nu si cu fata. [1, 12] inseamna ca aranjezi fata cu ea insasi ceea ce nu are efect dorit.

Exmplu pentru aranjari:
Ai un tub cilindric in care poate incapea 4 bile. In total ai 30 de bile de culori diferite. In cate feluri poti umple tubul?
Raspuns :
[4.30] = 30*29*28*27.

Ai noțiunile de permutări, aranjamente și combinării, fiecare cu formulele specifice.
Permutările se citesc: "permutări de n" și au formula n! (n factorial)
Este formula pentru a afla in câte moduri se pot aranja elementele unei mulțimi.
P2 = 2! = 1x2
P3 = 3! = 1x2x3 = 6
P4 = 4! = 1x2x3x4 = 24
P5= 5! = 1x2x3x4x5 = 120
.
.
.
Pn = n! = 1x2x...x n

Aranjamentele se citesc: "aranjamente de n luate câte k" și au formula:
A = n! / (n-k)!
Adică dintr-o mulțime de n elemente alegi un număr k elemente pe care le combini între ele in toate felurile posibile și vrei să afli câte posibilități ai.
Ex.: aranjamente de 5 luate câte 3
In acest caz n-ul nostru este 5, iar k este 3.
K este întotdeauna mai mic sau egal cu n deoarece nu poți să aranjezi mai multe elemente decât ai.
Se aplică formula și vei avea:
5! / (5-3)! =
5! / 2! = 120/2 =60
5! =120
2! = 2
Sau mai poate fi citit
1x2x3x4x5 / 1x2
1cu1 se simplifică, 2cu2 și fămâi cu 3x4x5=60

"Aranjamente de n luate câte 1"
Vei avea după formulă:
n! / (n-1)!
n! Înseamnă toate numerele consecutive de la 1 la n înmulțite.
(n-1)! Înseamnă tale numerele de la 1 la (n-1) înmulțiteîntre ele.
(n-1) fiind predecesorul lui n.
Vei avea:
1x...x (n-2) x (n-1) x n / 1x... x (n-2) x (n-1)
1 se simplifică cu 1, (n-2) cu (n-2), (n-1) cu (n-1) și rămâne rezultatul n.

Combinările se citesc: "combinării de n luate câte k" și au formula:
n! / k! • (n-k)!

"Combinării de 10 luate câte 8"
Se aplică formula și avem:
10! / 8! • [10–8]! =
10! / 8! • 2! =
10! = 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10
8! = 1•2•3•4•5•6•7•8
2! = 1•2 și vei avea:
1•2•3•4•5•6•7•8•9•10 / 1•2•3•4•5•6•7•8 •1•2
1cu1...8cu8 și rămâi cu:
9•10 / 1•2 =
9•10/2=
9•5 = 45

Combinării de n+2 luate câte n+1
Se aplică formula și avem:
(n+2)! / (n+1)! • [(n+2)-(n+1)] =
(n+2)! / (n+1)! • ( n+2-n-1)! =
(n+2)!/ (n+1)! • 1!

(n+2)! = 1 •...• (n-1) n (n+1) (n+2)
(n+1)! = 1•...• (n-1) n (n+1)
1!=1

Și ajungem la:
1 •...• (n-1) n (n+1) (n+2) / 1 •...• (n-1) n (n+1) • 1
1 se simplifică cu 1, (n-1) cu (n-1)... și rămâne rezultatul (n+2) / 1 care este n+2

Foarte important
0!=1
Ți-am rezolvat câteva exerciții, dar ar trebui să și citești din manual sau de pe un blog de mate despre ele pentru a înțelege mai bine ce se face cu acestea și la ce ne sunt utile.
Îți las niște exerciții:
https://m.imgur.com/a/yEyl1Ku

Nu trebuie să faci o desfășurare atât de larga pe cât am făcut eu. E doar pentru a înțelege, nu trebuie să scrii de fiecare dată 1x2x4x... dacă lucrezi mult vei vedea că îți vor intra în mână și nu vor mai fi așa grele simplificările.

Astea mi se par super simple, mergi pe formulă.