Cine imi face si mie o lista cu lectiile care se predau la mate in clasa a 9-a?

TRUNCHI COMUN* – 2 ore
COMPETENŢE SPECIFICE** ŞI CONŢINUTURI
Competenţe specifice Conţinuturi

1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice logicii matematice si teoriei mulţimilor
2.1. Reprezentarea adecvată a mulţimilor şi a operaţiilor logice şi identificarea de proprietăţi
2.2. Transcrierea unui enunţ în limbajul logicii matematice sau al teoriei mulţimilor
3.1. Alegerea şi utilizarea de algoritmi pentru efectuarea de operaţii cu mulţimi, cu numere reale, cu propoziţii/predicate
3.2. Utilizarea reprezentărilor grafice (diagrame, reprezentări pe axă), a tabelelor de adevăr, pentru efectuarea unor operaţii
4.1. Redactarea soluţiei unei probleme utilizând corelarea între limbajul logicii matematice şi limbajul teoriei mulţimilor
4.2. Explicitarea caracteristicilor unor mulţimi folosind limbajul logicii matematice
5. Analiza unor contexte uzuale şi matematice (de exemplu: redactarea soluţiei unei probleme) utilizând limbajul logicii matematice şi al teoriei mulţimilor
6.1. Transpunerea unei situaţii - problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului
6.2. Transpunerea unei situaţii cotidiene în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului Mulţimi şi elemente de logică matematică
• Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operaţii cu intervale de numere reale.
• Propoziţie, predicat, cuantificatori.
• Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi relaţiile cu mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate).


1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri, progresii, funcţii
2.1. Calculul valorilor unor funcţii care modelează situaţii practice în scopul caracterizării acestora
2.2. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondenţe, funcţii, şiruri în scopul caracterizării acestora
3.1. Alegerea şi utilizarea unei modalităţi adecvate de calcul
3.2. Identificarea unor formule de recurenţă pe bază de raţionamente de tip inductiv
4.1. Interpretarea grafică a unor relaţii provenite din probleme practice
4.2. Exprimarea caracteristicilor unor funcţii folosind reprezentări (diagrame, grafice)
5.1. Analiza datelor în vederea aplicării unor formule de recurenţă sau a raţionamentului de tip inductiv în rezolvarea problemelor
5.2. Deducerea unor proprietăţi ale unor şiruri folosind reprezentările grafice sau raţionamente de tip inductiv
6.1. Analiza şi adaptarea scrierii termenilor unui şir în funcţie de context
6.2. Asocierea unei situaţii – problemă cu un model matematic de tip funcţie, şir, progresie FUNCŢII
Şiruri
• Modalităţi de a descrie un şir; exemple de şiruri: progresii aritmetice, progresii geometrice, aflarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii.

1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a unei funcţii
2.1. Determinarea soluţiilor unor ecuaţii, inecuaţii utilizând reprezentările grafice
2.2. Identificarea unor puncte semnificative de pe graficul unei funcţii
3.1. Alegerea şi utilizarea unei modalităţi adecvate de reprezentare grafică în vederea evidenţierii unor proprietăţi
3.2. Folosirea proprietăţilor unei funcţii pentru completarea graficului unei funcţii pare, impare sau periodice
4.1. Exprimarea monotoniei unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice
4.2. Exprimarea proprietăţilor unor funcţii pe baza lecturii grafice
5. Reprezentarea graficului prin puncte şi aproximarea acestuia printr-o curbă continuă
6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

Funcţii; lecturi grafice
• Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane. Drepte în plan de forma x=m, sau de forma y=m, m є R.
• Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice; egalitatea a două funcţii, imaginea unei funcţii, graficul unei funcţii .
• Funcţii numerice f :I→R, I interval de numere reale; proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lecturi grafice: reprezentarea geometrică a graficului, intersecţia graficului cu axele de coordonate, rezolvarea grafică a ecuaţiilor de forma f(x)= g( x), mărginire, paritate, imparitate (simetria graficului faţă de axa Oy sau origine), periodicitate, monotonie.

1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite
2.1. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor
2.2. Identificarea unor metode grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor
3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor şi reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I
4.1. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică
4.2. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie prin funcţii de o variabilă, inecuaţii sau sisteme
5.1. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei
5.2. Interpretarea cu ajutorul proporţionalităţii a condiţiilor pentru ca diverse date să fie caracterizate cu ajutorul unei funcţii de gradul I
6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii-problemă şi interpretarea rezultatului Funcţia de gradul I
• Definiţie;
• Reprezentarea grafică a funcţiei f: R  R , f(x) = ax+b, a,bR, intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0 ;
• Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei.
• Inecuaţii de forma ax + b  0 (, ) a, bR, studiate pe R
• Poziţia relativă a două drepte; sisteme de tipul , a, b, c, m, n, p numere reale


1. Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice prin exemple
2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului
3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative)
4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice
5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor sisteme
6. Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor sau sistemelor de ecuaţii Funcţia de gradul al II-lea
• Reprezentarea grafică a funcţiei f : R  R, f(x) = ax2+bx+c, a,b,cR, a  0, intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x) = 0, simetria faţă de drepte de forma x = m, mR ).
• Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma s,pR.



1. Identificarea unor moduri de variaţie a datelor
2.1. Compararea variaţiei unor date diverse prin intermediul ratei creşterii
2.2. Reprezentarea grafică a unor date diverse în vederea comparării variaţiei lor
3.1. Aplicarea formulelor de calcul şi a lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii şi sisteme
3.2. Utilizarea lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuaţii şi inecuaţii şi sisteme
4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice
5.1. Determinarea relaţiei între condiţii algebrice date şi graficul funcţiei de gradul al II-lea
5.2. Interpretarea unei configuraţii din perspectiva poziţiilor relative ale unor drepte
6.1. Utilizarea monotoniei şi a punctelor de extrem în optimizarea rezultatelor unor probleme practice
6.2. Utilizarea lecturilor grafice în vederea optimizării rezultatelor unor probleme practice Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea
• Monotonie; punct de extrem (vârful parabolei), interpretare geometrică.
• Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, semnul funcţiei, inecuaţii de forma ax2 + bx + c  0 (, , ), a,b,cR, a  0 interpretare geometrică.
• Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma , a,b,c,m,nR, interpretare geometrică.

1. Identificarea elementelor de geometrie vectorială în diferite contexte
2.1. Aplicarea regulilor de calcul pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configuraţii date
2.2. Utilizarea reţelelor de pătrate pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configuraţii date
3.1. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie configuraţii geometrice date
3.2. Efectuarea de operaţii cu vectori pe configuraţii geometrice date
4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configuraţii geometrice
5.1. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să satisfacă cerinţe date
5.2. Identificarea condiţiilor necesare pentru efectuare operaţiilor cu vectori
6.1. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme din domenii conexe
6.2. Aplicarea calculului vectorial în descrierea proprietăţilor unor funcţii Vectori în plan
• Segment orientat, vectori, vectori coliniari.
• Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari, condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori daţi, necoliniari şi nenuli.

1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice
2. Reprezentarea prin intermediul vectorilor a unei configuraţii geometrice date
3. Utilizarea calcului vectorial sau a metodelor sintetice în rezolvarea unor probleme de geometrie metrică
4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) a unei configuraţii geometrice date
5.1. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice
5.2. Determinarea condiţiilor necesare pentru coliniaritate, concurenţă sau paralelism
6. Analiza comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul vectorial în geometria plană
• Vectorul de poziţie al unui punct.
• Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism).
• Vectorul de poziţie al centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi).


1. Identificarea elementelor necesare pentru calculul unor lungimi de segmente şi măsuri de unghiuri
2. Utilizarea unor tabele şi formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie
3.1. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice
3.2. Aplicarea teoremelor şi formulelor pentru determinarea unor măsuri (lungimi sau unghiuri)
4. Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi geometriei a unor probleme practice
5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare
6. Analiza şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie
• Rezolvarea triunghiului dreptunghic.
• Formulele sin (180o-x)=sinx; cos (180o-x)=-cosx (fără demonstraţie).
• Modalităţi de calcul a lungimii unui segment şi a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi teorema cosinusului.




TRUNCHI COMUN ŞI CURRICULUM DIFERENŢIAT – 4 ore
COMPETENŢE SPECIFICE ŞI CONŢINUTURI
Competenţe specifice Conţinuturi

1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor
2. Utilizarea proprietăţilor algebrice ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în contexte variate, inclusiv folosind calculatorul
3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calcului cu numere reale
4. Caracterizarea unor mulţimi de numere şi a relaţiilor dintre acestea utilizând limbajului logicii matematice şi teoria mulţimilor
5. Analiza unor contexte uzuale şi matematice (de exemplu: redactarea soluţiei unei probleme) utilizând limbajului logicii matematice şi teoria mulţimilor
6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului Mulţimi şi elemente de logică matematică
• Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos , partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale.
• Propoziţie, predicat, cuantificatori.
• Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi relaţiile cu mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate, regulile lui De Morgan).
• Tipuri de raţionamente logice: inducţia matematică. Probleme de numărare.



1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri, progresii, funcţii
2. Utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor în scopul caracterizării acestora
3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare şi raţionament inductiv
4. Caracterizarea unor şiruri folosind reprezentarea grafică sau proprietăţi algebrice
5. Analiza unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe N prin raţionament de tip inductiv
6. Transpunerea unor situaţii problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite pe N FUNCŢII

Funcţii definite pe mulţimea numerelor naturale N (şir)
• Modalităţi de a defini un şir, şiruri mărginite, şiruri monotone; exemple simple
• Tipuri de şiruri: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie, suma primilor n termeni ai unei progresii
• Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică pentru n ≥ 3.

1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică
2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor
3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezentări
4. Caracterizarea unor funcţii prin utilizarea graficului funcţiei şi a ecuaţiei asociate
5. Analiza unor situaţii practice şi descrierea lor cu ajutorul funcţiilor
6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

Funcţii; lecturi grafice
• Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane. Drepte în plan de forma x=m, sau y=m, mєR.
• Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea şi preimaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii.
• Funcţii numerice (F = {f : D→R, D R}), proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lecturi grafice: reprezentarea geometrică a graficului, intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări grafice de ecuaţii şi inecuaţii de forma f(x)=g(x) (≤, ,≥ ) : mărginire, paritate, imparitate (simetria graficului faţă de axa Oy sau origine), simetria graficului faţă de drepte de forma x = m, mR sau faţă de puncte oarecare din plan, periodicitate, monotonie.
• Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice.

1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite
2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor
3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor şi reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I
4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică
5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei
6. Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea ecuaţiilor şi inecuaţiilor Funcţia de gradul I
• Definiţie, intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0, reprezentarea grafică a funcţiei f : R  R , f(x) = ax+b, a,bR
• Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei. Studiul monotoniei prin semnul diferenţei f(x1) – f(x2) (sau studierea raportului , R,  )
• Inecuaţii de forma ax + b  0 (, ) studiate pe R sau pe intervale de numere reale.
• Poziţia relativă a două drepte, sisteme de tipul , a, b, c, m, n, p numere reale
• Sisteme de inecuaţii de gradul I

1. Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice prin exemple
2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului
3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative)
4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice
5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor sisteme
6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor probleme şi modelarea unor procese Funcţia de gradul al II-lea
• Reprezentarea grafică a funcţiei
• f : R  R, f(x) = ax2+bx+c, a,b,cR, a  0, intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0, simetria faţă de drepte de forma x = m, mR .
• Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma s,pR.



1. Identificarea unor moduri de variaţie a datelor
2. Determinarea unor funcţii care satisfac anumite condiţii precizate
3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaţiilor şi inecuaţiilor şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor
4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice
5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate
6. Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de optimizare
Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II lea
• Monotonie. Studiul monotoniei prin semnul diferenţei f(x1) – f(x2), rata creşterii (descreşterii): , R,  , punct de extrem, (vârful parabolei).
• Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, semnul funcţiei, inecuaţii de forma ax2 + bx + c  0 (, , ) studiate pe R sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini şi preimagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axe).
• Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma a, b, c, m, nR
• Rezolvarea sistemelor de forma , a1, a2, b1, b2, c1, c2R, interpretare geometrică

1. Identificarea elementelor de geometrie vectorială în diferite contexte
1. Transpunerea unor operaţii cu vectori în contexte geometrice date
2. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică
3. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configuraţii geometrice
4. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să satisfacă cerinţe date
5. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică Vectori în plan
• Segment orientat, relaţia de echipolenţă, vectori, vectori coliniari.
• Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea cu scalari , proprietăţi ale înmulţirii cu scalari, condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori daţi, necoliniari şi nenuli.

1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice
2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a unei configuraţii geometrice date
3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurenţă sau paralelism
4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) a unei configuraţii geometrice date
5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice
6. Analiza comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul vectorial în geometria plană
• Vectorul de poziţie al unui punct.
• Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism).
• Vectorul de poziţie al centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi).
• Teorema bisectoarei , vectorul de poziţie al centrului cercului înscris într-un triunghi; ortocentrul unui triunghi; relaţia lui Sylvester, concurenţa înălţimilor.
• Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva.

1. Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice şi coordonate carteziene pe cercul trigonometric
2. Calculul unor măsuri de unghiuri şi arce utilizând relaţii trigonometrice, inclusiv folosind calculatorul
3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice
4. Caracterizarea unor configuraţii geometrice plane utilizând calculul trigonometric
5. Determinarea unor proprietăţi ale funcţiilor prin lecturi grafice
6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor Elemente de trigonometrie
• Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice
sin, cos: [0; 2π ] → [-1, 1 ],
tg: [0; π ]\{π/2}→R;
• Definirea funcţiilor trigonometrice:
sin: R →[-1 ; 1 ], cos: R → [-1 ; 1]
tg: R\D → R, unde D={ π/2+kπ; k є Z }
ctg: R\D → R unde D={ kπ, k є Z }
• Formulele de reducere la primul cadran, formule trigonometrice: sin (a+b), sin (a-b), cos(a+b), cos (a-b), sin2a, cos2a, sina+sinb, sina-sinb, cosa+cosb, cosa-cosb (transformarea sumei în produs).


1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor
2. Aplicarea unor metode diverse pentru optimizarea calculelor de distanţe, unghiuri şi arii
3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia.
4. Analiza unor configuraţii geometrice pentru optimizarea algoritmilor de rezolvare
5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanţe, unghiuri şi arii
6. Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice
Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului
scalar a doi vectori în geometria plană
• Produsul scalar a doi vectori: definiţie, proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic.
• Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare
• Calculul razei cercului înscris şi a cercului circumscris în triunghi, calculul lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcul de arii.



SUGESTII METODOLOGICE
Reconsiderarea finalităţilor şi a conţinuturilor învăţământului determinată de nevoia de adaptare a curriculumului naţional la schimbările intervenite în structura învăţământului preuniversitar: pe de o parte, prelungirea duratei învăţământului obligatoriu la 10 clase, iar pe de altă parte, apartenenţa claselor a IX-a şi a X-a la învăţământul liceal sau la învăţământul profesional – şcoala de arte şi meserii – este însoţită de reevaluarea şi înnoirea metodelor folosite în practica instructiv-educativă. Acestea vizează următoarele aspecte:
• aplicarea metodelor centrate pe elev, pe activizarea structurilor cognitive şi operatorii ale elevilor, pe exersarea potenţialului psihofizic al acestora, pe transformarea elevului în coparticipant la propria instruire şi educaţie;
• folosirea unor metode care să favorizeze relaţia nemijlocită a elevului cu obiectele cunoaşterii, prin recurgere la modele concrete;
• accentuarea caracterului formativ al metodelor de instruire utilizate în activitatea de predare-învăţare, acestea asumându-şi o intervenţie mai activă şi mai eficientă în cultivarea potenţialului individual, în dezvoltarea capacităţilor de a opera cu informaţiile asimilate, de a aplica şi evalua cunoştinţele dobândite, de a investiga ipoteze şi de a căuta soluţii adecvate de rezolvare a problemelor sau a situaţiilor-problemă;
• îmbinare şi o alternanţă sistematică a activităţilor bazate pe efortul individual al elevului (documentarea după diverse surse de informaţie, observaţia proprie, exerciţiul personal, instruirea programată, experimentul şi lucrul individual, tehnica muncii cu fişe etc.) cu activităţile ce solicită efortul colectiv (de echipă, de grup) de genul discuţiilor, asaltului de idei etc.;
• însuşirea unor metode de informare şi de documentare independentă, care oferă deschiderea spre autoinstruire, spre învăţare continuă.
Acest curriculum are drept obiectiv crearea condiţiilor favorabile fiecărui elev de a-şi forma şi dezvolta competenţele într-un ritm individual, de a-şi transfera cunoştinţele acumulate dintr-o zonă de studiu în alta. Pentru aceasta, este util ca profesorul să-şi orienteze demersul didactic spre realizarea următoarelor tipuri de activităţi:
• formularea de sarcini de prelucrare variată a informaţiilor, în scopul formării competenţelor vizate de programele şcolare;
• alternarea prezentării conţinuturilor, cu moduri variate de antrenare a gândirii;
• solicitarea de frecvente corelaţii intra şi interdisciplinare;
• punerea elevului în situaţia ca el însuşi să formuleze sarcini de lucru adecvate;
• obţinerea de soluţii sau interpretări variate pentru aceeaşi unitate informaţională;
• susţinerea comunicării elev-manual prin analiza pe text, transpunerea simbolică a unor conţinuturi, interpretarea acestora;
• formularea de sarcini rezolvabile prin activitatea în grup;
• organizarea unor activităţi de învăţare permiţând desfăşurarea sarcinilor de lucru în ritmuri diferite;
• sugerarea unui algoritm al învăţării, prin ordonarea sarcinilor.
Cadrele didactice îşi pot alege metodele şi tehnicile de predare şi îşi pot adapta practicile pedagogice în funcţie de ritmul de învăţare şi de particularităţile elevilor.
Prezentul curriculum îşi propune ca să formeze competenţe, valori şi atitudini prin demersuri didactice care să indice explicit apropierea conţinuturilor învăţării de practica învăţării eficiente. Pe parcursul ciclului liceal inferior este util ca, în practica pedagogică, profesorul să aibă în vedere a următoarele aspecte ale învăţării pentru formarea fiecăreia dintre competenţele generale ale disciplinei:
1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite
Exemple de activităţi de învăţare:
• analiza datelor unei probleme pentru verificarea noncontradicţiei, suficienţei, redundanţei şi eliminarea datelor neesenţiale;
• interpretarea parametrilor unei probleme ca o parte a ipotezei acesteia;
• utilizarea formulelor standardizate în înţelegerea ipotezei;
• exprimarea prin simboluri specifice a relaţiilor matematice dintr-o problemă;
• analiza secvenţelor logice în etapele de rezolvare a unei probleme;
• exprimarea rezultatelor rezolvării unei probleme în limbaj matematic;
• recunoaşterea şi identificarea datelor unei probleme prin raportare la sisteme de comparare standard.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice
Exemple de activităţi de învăţare:
• compararea, observarea unor asemănări şi deosebiri, clasificarea noţiunilor matematice studiate după unul sau mai multe criterii explicite sau implicite, luate simultan sau separat;
• folosirea regulilor de generare logică a reperelor sau a formulelor invariante în analiza de probleme;
• utilizarea schemelor logice şi a diagramelor logice de lucru în rezolvarea de probleme.
• formarea obişnuinţei de a verifica dacă o problemă este sau nu determinată;
• folosirea unor criterii de comparare şi clasificare pentru descoperirea unor proprietăţi, reguli etc.
3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete
Exemple de activităţi de învăţare:
• cunoaşterea şi utilizarea unor reprezentări variate ale noţiunilor matematice studiate;
• folosirea particularizării, a generalizării, a inducţiei sau analogiei pentru alcătuirea sau rezolvarea de probleme noi, pornind de la o proprietate sau problemă dată;
• construirea şi interpretarea unor diagrame, tabele, scheme grafice ilustrând situaţii cotidiene;
• exprimarea în termeni logici, cu ajutorul invarianţilor specifici, a unei rezolvări de probleme;
• utilizarea unor repere standard sau a unor formule standard în rezolvarea de probleme.
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora
Exemple de activităţi de învăţare:
• intuirea algoritmului după care este construită o succesiune dată, exprimată verbal sau simbolic şi verificarea pe cazuri particulare a regulilor descoperite;
• formarea obişnuinţei de a recurge la diverse tipuri de reprezentări pentru clasificarea, rezumarea şi prezentarea concluziilor unor experimente;
• folosirea unor reprezentări variate pentru anticiparea unor rezultate sau evenimente;
• intuirea ideii de dependenţă funcţională;
• utilizarea metodelor standard în aplicaţii în diverse domenii;
• redactarea unor demonstraţii utilizând terminologia adecvată şi făcând apel la propoziţii matematice studiate.
5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă
Exemple de activităţi de învăţare:
• identificarea şi descrierea cu ajutorul unor modele matematice, a unor relaţii sau situaţii multiple;
• imaginarea şi folosirea creativă a unor reprezentări variate pentru depăşirea unor dificultăţi;
• exprimarea prin metode specifice a unor clase de probleme; formarea obişnuinţei de a căuta toate soluţiile sau de a stabili unicitatea soluţiilor; analiza rezultatelor;
• identificarea şi formularea a cât mai multor consecinţe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze;
• verificarea validităţii unor afirmaţii, pe cazuri particulare sau prin construirea unor exemple si contraexemple;
• folosirea unor sisteme de referinţă diferite pentru abordarea din perspective diferite ale unei noţiuni matematice.
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii
Exemple de activităţi de învăţare:
• analiza rezolvării unei probleme din punctul de vedere al corectitudinii, al simplităţii, al clarităţii şi al semnificaţiei rezultatelor;
• reformularea unei probleme echivalente sau înrudite;
• rezolvarea de probleme şi situaţii-problemă;
• folosirea unor reprezentări variate ca punct de plecare pentru intuirea, ilustrarea, clarificarea sau justificarea unor idei, algoritmi, metode, căi de rezolvare etc.;
• transferul şi extrapolarea soluţiilor unor probleme pentru rezolvarea altora;
• folosirea unor idei, reguli sau metode matematice în abordarea unor probleme practice sau pentru structurarea unor situaţii diverse;
• expunerea de metode standard sau nonstandard ce permit modelarea matematică a unor situaţii;
• analiza capacităţii metodelor de a se adapta unor situaţii concrete;
• utilizarea rezultatelor şi a metodelor pentru crearea de strategii de lucru.
Toate acestea sugestii de activităţi de învăţare indică explicit apropierea conţinuturilor învăţării de practica învăţării eficiente. În demersul didactic, centrul acţiunii devine elevul şi nu predarea noţiunilor matematice ca atare. Accentul trece de la "ce" să se înveţe, la "în ce scop" şi "cu ce rezultate". Evaluarea se face în termeni calitativi; capătă semnificaţie dimensiuni ale cunoştinţelor dobândite, cum ar fi: esenţialitate, profunzime, funcţionalitate, durabilitate, orientare axiologică, stabilitate, mobilitate, diversificare, amplificare treptată.