Cum demonstrez ca o functie nu este derivabila in origine?

NOTIUNI TEORETICE…………………………….2

Derivata unei functii intr-un punct 2

Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale .5

Proprietatile functiilor derivabile ………………………...10

APLICATII ………………………………………….……18

tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y

tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y

tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y

tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y

tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y

tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y

tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y





















Notiuni teoretice







ξ I. Derivata unei functii intr-un punct

I.0o Originea notiunii de derivata

Au existat doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil - si alta geometrica - tangenta la o curba plana -, care au condus la descoperirea notiunii de derivata. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definitia matematica a acestui concept.



I.1o Definitia derivatei unei functii intr-un punct


Fie o functie ƒ : E → R (ER) si, x0 punct de acumulare al multimii E. Retinem ca ƒ este definita in x0.

DEFINITIA 1:

1) Se spune ca ƒ are derivata in punctul x0, daca exista ( in )

notata cu ƒ’(x0);

2) Daca derivata ƒ’(x0) exista si este finita se spune ca functia ƒ este derivabila in

x0.

Observatii. 1. Se poate intampla ca ƒ’(x0) sa existe si sa fie .

2.Trebuie remarcat ca problema existentei derivatei sau a derivabilitatii

nu se pune in punctele izolate ale multimii E (daca E are astfel de puncte!).

Presupunem ca ƒ’(x0) exista; facand translatia x – x0 = h, atunci din relatia de definitie rezulta ca

DEFINITIA 2:

Daca o functie ƒ: E → R este derivabila in orice punct al unei submultimi FE, atunci se spune ca ƒ este derivabila pe multimea F. In acest caz, functia F → R, x → ƒ’(x) se numeste derivata lui ƒ pe multimea F si se noteaza cu ƒ’. Operatia prin care ƒ’ se obtine din ƒ se numeste derivarea lui ƒ.







TEOREMA 1. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Demonstratia este simpla: Presupunem ca ƒ: E → R este derivabila in punctul xE, deci limita din definitia 1 exista si este finita.

In general reciproca teoremei este falsa. Un exemplu este functia modul in origine.

In studiul existentei limitei unei functii intr-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptam acest criteriu la studiul derivabilitatii unei functii intr-un punct, tinand cont ca existenta derivatei implica in fond existenta unei anumite limite.



DEFINITIA 3.

Fie ER si x0E un punct de acumulare pentru E. Daca limita

exista (in R barat ), atunci aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei ƒ in punctul x0.Daca , in plus, aceasta limita exista si este finita, atunci se spune ca ƒ este derivabila la stanga in punctul x0.

In mod similar se definesc derivata la dreapta si notiunea de functie derivabila la dreapta in x0.



TEOREMA 2. Daca ƒ: E → R este derivabila in punctul x0E, atunci ƒ este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si

Reciproc, daca ƒ este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si daca , atunci ƒ este derivabila in x0 si

Daca E=[ a, b], faptul ca ƒ este derivabila in a (respectiv b) revine la aceea ca ƒ este derivabila la dreapta in punctul a (respectiv la stanga in b).

Exemplu : Pentru ƒ : R→R, ƒ(x) =| x |, avem

Similar se obtine ca:

,

regasim ca ƒ nu este derivabila in punctul x = 0.



I.2o Interpretarea geometrica a derivatei



Daca ƒ: (a, b)→R este o functie derivabila intr-un punct x0 (a, b), atunci conform relatiilor

graficul lui ƒ are tangenta in x0 (sau mai corect in punctul (x0, ƒ(x0)), anume dreapta de ecuatie

Asadar ƒ’(x0) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui ƒ, in punctul (x0,ƒ(x0)). Daca ƒ’(x0)= (in sensul ca limita din definitie este infinita), atunci tangenta in (x0, ƒ(x0)) este paralela cu axa Oy.

Fara nici o dificultate , se poate vorbi de semitangenta la dreapta sau la stanga intr-un punct la un grafic, in legatura cu derivatele laterale respective in acel punct. Geometric, pentru o functie derivabila intr-un punct, directiile semitangentelor la dreapta si stanga la grafic in acel punct coincid.

Daca intr-un punct x0, ƒ este continua si avem (sau invers), atunci punctul x0 se numeste punct de intoarcere al graficului lui ƒ.



Daca o functie ƒ: E → R (ER) este continua intr-un punct x0E, daca exista ambele derivate laterale, cel putin una dintre ele fiind finita, dar functia nu este derivabila in x0, atunci se spune ca x0 este punct unghiular al graficului lui ƒ (fig.2.). Intr-un punct unghiular cele doua semitangente, la stanga si la dreapta, formeaza un unghi α















Exemple :

Pentru functia ƒ(x) = , scriem ecuatia tangentei in punctul x0 = 1.

Avem si ecuatia ceruta este

(fig. 3).

ξ II. Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale



Am intalnit deja exemple de functii derivabile. Este utila o sinteza a derivatelor functiilor uzuale si se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de functii derivabile.

II.1o Derivatele catorva functii uzuale

Orice functie constanta ƒ: R → R, ƒ(x)=c este derivabila pe R, cu derivata nula

(1).



Functia putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real si x > 0) este derivabila pe R si ƒ’(x)=nxn-1.





(2).

Functia logaritmica ƒ: (0, ) → R, ƒ (x) = ln x este derivabila pe domeniul de definitie si are derivata

(3).



Functiile trigonometrice ƒ, g: R → R, ƒ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R si pentru orice x avem



(sin x)’ = cos x

(cos x)’= -sin x



Demonstratiile tuturor acestor derivate se fac usor folosind definitia derivatei.

II.2o Reguli de derivare

In continuare aratam ca pentru functii ca ƒ, g : E→R derivabile, E R, functiile ƒ + g, ƒ-g, fg etc. au aceeasi proprietate.

TEOREMA 3. Presupunem ca ƒ, g sunt derivabile in punctul x0E si o constanta.

Atunci :

(a) suma ƒ + g este derivabila in x0 si

(b) λƒ este derivabila in x0 si

(c) produsul ƒg este o functie, derivabila in x0 si

Demonstratia se face de asemenea usor folosind definitia derivatei.

Generalizand se obtine urmatorul

COROLAR. Daca ƒ1, ƒ2,…ƒk sunt functii derivabile in punctul x0, atnuci suma ƒ1 + ƒ2 + … +ƒk, respectiv produsul ƒ1ƒ2…ƒk sunt derivabile in x0 si, in plus:

si

TEOREMA 4. Presupunem ca ƒ si g sunt derivabile in x0 si ca . Atunci functia – cat este derivabila in x0 si, in plus :



II.3o Derivarea unei functii compuse si a inversei unei functii

Trecem acum la stabilirea altor doua teorema generale de derivare, relativ la compunere si inversare. Deosebit de importanta este formula de derivare a functiilor compuse. In acest sens, are loc

TEOREMA 5. Fie I, J intervale si doua functii. Daca ƒ este derivabila in punctul x0I, si g este derivabila in punctul y0=ƒ(x0), atunci functia compusa G= gƒ este derivabila in x0 si G’(x0) = g’(y0)f’(x0). Daca ƒ este derivabila pe I, g este derivabila pe J, atunci gf este derivabila pe I si are loc formula :





Demonstratie. Avem de aratat ca

Consideram functia ajutatoare F:I→R, definita prin

Functia F este continua in punctul y0 deoarece

Pe de alta parte, pentru orice xx0 avem

Intr-adevar daca f(x) = ƒ(x0), atunci ambii termeni sunt nuli, iar daca ƒ(x) ƒ(x0), atunci ƒ(x) y0 si, conform functiei ajutatoare , deci relatia precedenta este dovedita in ambele cazuri. Observand ca F(f(x))→F(f(x0)=F(y0)=g’(y0) si trecand la limita (x→x0) relatia precedenta rezulta ca

TEOREMA 6. Fie ƒ: I →J o functie continua si bijectiva intre doua intervale. Presupunem ca ƒ este derivabila intr-un punct x0I si ƒ’(x0) 0, atunci inversa g=f-1 este derivabila in punctul y0=f(x0) si, in plus,

Demonstratie. Mai intai trebuie sa punem conditia pentru ca limita ; yy0. Din faptul ca yy0 rezulta ca xx0 si, in plus,

.

Trecand la limita cand y→y0, rezulta ca g(y)→g(y0) adica x→x0 si ultimul raport tinde catre . Primul raport din relatia de mai sus va avea limita, deci functia g este derivabila in punctul y0. Ceea ce trebuia de demonstrat.



Aceasta teorema se foloseste la aflarea derivatelor unor inverse de functii. Cum ar fii arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.



II.4o Derivatele functiilor uzuale si a regulilor de derivare

Reguli de derivare

1.

2.

3.

4.

II. Tabloul de derivare al functiilor elementare
Functia


Derivata

Domeniul de derivabilitate
c(constanta)

0

R
x

1

R
xn

nxn-1

R
xr, r real

rxr-1

cel putin


ln x


ex

ex

R
ax

axln a

R
sin x

cos x

R
cos x

-sin x

R
tg x


cos x
ctg x


sin x
arcsin x


(-1, 1)
arccos x


(-1, 1)
arctg x


R
arcctg x


R

Toate aceste derivate se demonstreaza usor folosind definitia derivatei si teorema 6. Teorema de derivare a functiilor compuse impreuna cu tabloul anterior permite obtinerea urmatoarelor formule utilizate (unde u = u(x) este o functie derivabila).

Tabloul de derivare al functiilor compuse


Functia

Derivata

Domeniul de definitie
u

u’


un

nun-1u’


ur

rur-1u’

u>0


u>0
ln u


u>0
eu

euu’


au

au(ln a) u’


sin u

u’cos u


cos u

-u’sin u


tg u


cos u
ctg u


sin u
arcsin u


u2

Nu pot să copiez. Site-l nu îmi permite. Caută cu Google despre: Derivare, derivată la stânga, derivată la dreapta, puncte de acumulare, funcții deriva-bile, derivată, etc. Succes!

Calculezi f's(0)=lim(x->o; x

Imi pare rau, dar nu imi accepta tot raspunsul.

Parca TPU nu incurajeaza "facerea" temelor a LENESILOR. La scoala cu voi! Faceti tara de rusine, si voi, dar si cei care va ajuta.