Hey! Ma poate ajuta cineva cu functiile?! Am test din ele luni si nu stiu numic despre ele! Daca puteti sa imi explicati tot ce se poate despre functiile din clasa a 8-a! Stiu ca acesta nu este un site de probleme pentru scoala dar am mare nevoie (dau coroana, bifa, orice se da)!

FUNCTII
CLASA a 8-a

O operatie importanta a multimilor este produsul cartezian
AxB ={ (x, y ) │x єA si y єB } Deci produsul cartezian este multimea perechilor ordonate de elemente din multimile date.
Exemplu: A={2; 3} B={4; 5} AxB ={ (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) } Produsul cartezian nu este comutativ: AxB ≠ BxA
Dupa cum se stie reprezentarea geometrica a axei reale este o dreapta. Reprezenterea geometrica a multimii RxR ={(x,y) │xє R si yє R } necesita un plan.
Axa OX se numeste axa
abciselor, iar axa OY se
numeste axa ordonatelor.
Punctul O se numeste origi-
nea axelor de coordinate.
Interioarele unghiurilor
drepte formate se numesc
cadrane.


Sistemul de axe se numeste sistem ortogonal de axe.
Punctele c, d, a, b, numesc coordonatele punctelor M si P.
Punctele a si c se numesc abcisele punctelor M si P, iar punctele d si b se numesc ordonatele punctelor M si P.
Exercitiu. Sa se reprezinte intr-un sistem de axe ortogonale punctele : A (3,-4); B (-2, -3); C( 0, 4); D( -3, 0). Sa se specifice in ce cadran sunt punctele A, B, C.D.
Punctele de pe abcisa au ordonata 0, iar punctele de pe ordonata au abcisa 0.
Daca se reprezinta punctele A(-9, 6), B(-3, 2), C(6,-4) se va observa ca ele sunt coliniare.
In general daca avem doua numere reale a si b, punctele de abcisa x si ordonata y si relatia y=ax+b, aceste puncte sunt coliniare.
NOTIUNEA DE FUNCTIE
Sa dau tabelele
x 2 3 4 5 6
y 4 6 8 10 12
Legatura dintre x si y este: y=2x
x 3 4 5 2 7
y 9 16 25 4 49

Relatia dintre x si y in acest caz este: y=x
Daca desenam niste diagrame pentru cele doua tabele, avem
1 2
In primele trei diagrame fiecarui element din prima multime ii corespunde un element din a doua multime si numai unul singur.
In diagrama 4 nu este asa, deci putem spune ca nu sunt intr-o dependenta functionala.

Putem spune ca relatiile din primele trei diagrame sunt functii, deoarece sunt intr-o dependenta functionala. Ultima diagrama nu reprezinta o functie.( la o singura valoare din stanga corespund mai multe valori in dreapta)
Definitie.
Daca se dau doua multimi A si B si o lege de corespondenta (de asociere) notata cu f, care face ca fiecarui element x din A sa-i corespunda un element y unic din B, spunem ca am definit o functie pe A cu valori in B si notam:
f : A→ B
Multimea A se numeste domeniul de definitie al functiei, iar multimea B se numeste multimea in care functia ia valori sau codomeniu.
Elementele multimii A se numesc variabile independente ale functiei, iar corespondentele lor din multimea B se numesc valori sau imagini.
Putem scrie ca y=f(x)
Multimea valorilor(imaginilor) se noteaza f(A) sau Imf si este
f(A)={yєB │y=f(x), xєA }
Exemple de functii: 1. M ={0, 3,6, 9, ….3n} f: N→M cu f(n)=3n
2. Operatia de ridicare la patrat a numerelor reale f: R→R cu f(x)=x



MODURI DE A DEFINI O FUNCTIE
Legile de corespondenta au fost prezentate prin tabele, diagrame, formule.


GRAFICUL UNEI FUNCTII
Fie o functie f : A →B. Prin graficul functiei vom intelege submultimea produsului AxB data astfel G ={(x, y)/ xєA si y=f(x)}
Deci (a, b)єG ↔f(a)=b si G AxB
Graficul unei functii are tot atatea elemente cate are si domeniul A.
Exercitiu.Sa se afle daca perechile (2; 1), (3; 5), (-1; 10) apartin graficelor functiilor f, g :R→R, f(x)=2x -5x+3 si g(x)=4x-7
Exemplu; f(2)=2∙4-5∙2+3=1 deci (2; 1)єG etc.



REPREZENTAREA GEOMETRICA A GRAFICULUI UNEI FUNCTII NUMERICE
Numim functie numerica o functie f:A→B unde A R si B R. Pentru o functie
numerica avem G RxR, deci putem reprezenta geometric G intr-un plan in
care s-a stabilit un sistem ortogonal de axe de coordonate.



Exercitiu. Se da f :{0; 1; 4; 9}→R f(x)= G ={(0; 0), (1; 1),(4; 2), (9; 3)}













Se dau functiile:
1. f :{-2;-1; 0; 1; 2}→{-2;-1; 0; 1; 2} f(x)=x -2
2. g :{-2;-1; 0; 1; 3}→{-2;-1; 0; 1; 2}
g(x)=
Alcatuiti tabelul de valori si reprezentati grafic.Vom obtine niste puncte si
figura astfel obtinuta se noteaza cu G.
Orice punct P(a, b)єG ↔f(a)=b

Exercitiu Sa se traseze graficele functiilor f, g:{-2;-1; 0; 3}→R
f(x)=
g(x)=

FUNCTII DE TIPUL f:A→R, f(x)=ax+b, a, b єR, A R
1. f:R→R, pentru.a=0 f(x)=b
Aceasta este functia constanta, toate valorile ei fiind egale cu b.
Reprezentarea grafica este o dreapta paralela cu axa ox

Exercitiu. Sa se reprezinte f, g :R→R cu f(x)=3 si g(x)=-2.
Daca b=0 obtinem f(x)=0, graficul functiei este chiar axa abciselor.
2. f:R→R f(x)=ax b=0, aєR
Al doilea grafic este pentru functia f:R→R f(x)=2x. Se observa ca dreapta ce
reprezinta graficul functiei trece prin originea axelor.


3.f:R→R f(x)=ax+b a, b є R Graficul functiei va fi tot o dreapta, iar pentru al
trasa este nevoie sa-i determinam doua puncte.

Exercitiu. Sa se reprezinte grafic f:R→R f(x)=2x+1
Aceste functii se numesc functii de gradul 1.

4.f:I→R f(x)=ax+b a, b єR, iar domeniul de definitie al functiei este un interval.
Graficul functiei va fi un segment sau o semidreapta.
Exercitii
. Sa se reprezinte grafic functia 1. f:[0; 3] →R f(x)=2x+1
2. f-, 3]→R f(x)=2x+1
3. f:[3, + )→R f(x)=2x+1
Determinarea unei functii f:R→R f(x)=ax+b a, bєR
1.Sa se determine functia f care trece prin punctele A(3;-5), B(-2; 5)
f(3)=-5 si f(-2)=5 f(3)=a∙3+b
f(-2)=a∙(-2)+b
Rezulta ca 3a+b=-5
-2a+b=5 Rezulta a=-2 si b=1,
deci functia este f(x)=-2x+1



2.Sa se determine functia f stiind ca f(x)=4x+b si ca trece prin punctul A(2;-3)
f(2)=-3 →4∙2+b=-3→b=-11→f(x)=4x-11



3.Sa se determine functia f stiind ca graficul este segmentul [OB] O fiind ori-
ginea axelor de coordinate, iar B(; )
Deoarece functia trece prin originea axelor f(x)=ax→f( )= →a =
a= →f(x)= x




4. Sa se determine coordonatele punctului de intersectie ale functiilor
f si g stiind ca f, g:R→R f(x)=2x+3 si g(x)=x+4
Consideram punctul de intersectie P(m; n) →f(m)=n si g(m)=n→
2m+3=n si m+4=n→2m+3=m+4→m=1 si n=5→P(1; 5)







5. Sa se afle aria triunghiului marginit de graficele functiilor f, g, h :R→R unde
f(x)=4x-7; g(x)=-4x+17; h(x)=1
x=0 f(0)=-7→A(0;-7)
f(x)=0 x= →B(; 0)
x=0 g(0)=17→C(0; 17)
g(x)=0 x= →D(; 0)

Punctul M(m; n) este intersectia graficului
functiei f(x) cu graficul functiei h(x)
4m-7=1→m=2→M(2; 1)
Punctul N(s; v) este intersectia graficului
functiei g(x) cu graficul functiei h(x).
-4s+17=1→s=4→N(4; 1)
Punctul P(t; p) este intersectia graficului
functiei f(x) cu graficul functiei g(x).







Avem 4t-7=-4t+17→t=3
4t-7=p→p=5 →P(3; 5)
Triunghiul PMN format prin intersectia graficelor celor trei functii are
MN=4-2=2; inaltimea PT=5-1=4 →S u.a(unitati de arie)






6. Sa se determine m astfel ca punctele A(-2;-1); B(2m; m-1/2); C(4; 7) sa fie
coliniare.
Pentru ca punctele A; B; C sa fie coliniare ele trebuie sa se afle pe graficul
unei functii liniare de forma f(x)=ax+b
f(-2)=-1; f(4)=7→-2a+b=-1
4a+b=7 →a= si b= →f(x)=
B(2m; m-1/2) trebuie sa apartina si el graficului functiei f(x), deci
f(2m)= →m=-1


7. Sa se determine functiile liniare f si g daca

Notam f(x+3) cu t si g(2x)cu v → →t=x+3 si v=2x+1
Deci f(x+3)=x+3 →f(x)=x si g(2x)=2x+1→g(x)=x+1