Ce institutii sunt obligate de lege sa faca contract cu firmele de paza?

Nici o institutie nu este obligata.
Conform L.333/2003, rep. in 2014, citez:
"Art. 1.(1) Paza si protectia sunt activitati desfasurate prin forte si mijloace specifice, in scopul asigurarii sigurantei obiectivelor, bunurilor si valorilor impotriva oricaror actiuni ilicite care lezeaza dreptul de proprietate, existenta materiala a acestora, precum si a protejarii persoanelor impotriva oricaror acte ostile care le pot periclita viata, integritatea fizica sau sanatatea.
(2) Paza si protectia se realizeaza prin forte si mijloace militare sau civile, de catre institutiile specializate ale autoritatilor administratiei publice, sau in regim privat, de catre proprietarii sau detinatorii obiectivelor, bunurilor sau valorilor, precum si de catre societatile specializate de paza si protectie.
Art. 2.(1) Ministerele si celelalte organe de specialitate ale administratiei publice centrale si locale, regiile autonome, companiile si societatile nationale, institutele nationale de cercetare-dezvoltare, societatile reglementate de Legea nr. 31/1990, republicata, cu modificarile si completarile ulterioare, indiferent de natura capitalului social, precum si alte organizatii care detin bunuri ori valori cu orice titlu, denumite in prezenta lege unitati, sunt obligate sa asigure paza acestora.
(2) Persoanele fizice pot apela pentru protectia personala la serviciile unor societati specializate de paza si protectie, in conditiile prezentei legi.
Art. 3.(1) In functie de importanta, specificul si valoarea bunurilor pe care le detin, conducatorii unitatilor prevazute la art. 2 alin. (1), cu sprijinul de specialitate al politiei, pentru sistemele civile de paza, sau al jandarmeriei, pentru cele militare, stabilesc modalitati concrete de organizare si de executare a pazei, dupa caz, cu efective de jandarmi, paza cu politisti locali, paza proprie sau paza prin societati specializate."
Pentru detalii citeste aceasta lege.