Am vrut să-mi testez capacitatea de vizualizare în spaţiu. Am imaginat un corp în formă de piramidă având baza un patrulater oarecare. Şi mi-am pus problema dacă se poate găsi un plan care să o taie după un paralelogram. Voi ce credeţi? Eu, intuitiv as zice că da, se poate, dar nu am încă o certitudine. Păreri?
Nu am luat de pe nicăieri problema (nici nu cred că există pe undeva), e doar imaginată de mine. Deci nici vorbă de temă.
Rezolvarea e mai simpla decat credem noi. O complicam pentru ca pornim din perspectiva patrulaterului. Dar hai sa schimbam direcția, sa pornim din virful piramidei, trecind prin secțiune, si ajungind la patrulater. Încă de la prima vedere îți poti da seama ca e vorba de o proiecție, ca la cinema, razele pornesc dintr-un punct și ajung pe ditamai ecranul. Deci, ca să ai ca secțiune un paralelogram, baza piramidei trebuie sa fie o proiectie a paralelogramului, un paralelogram, care tot patrulater e, la fel ca și cel din secțiune, dar mai mare, funcție de unghiul dintre laturile piramidei și distantei dintre secțiune și virf și secțiune și patrulater.
Q. E. D. 
Si mulțumesc frumos, mintea mea s-a bucurat ca a avut de gindit ceva atit de interesant.
Răspunde
Ordonare:
După relevanţă
Se poate, planul trebuie sa aiba un anumit unghi pe axa x, si la fel pe cea y. Adica daca ar fi sa fie un patrat acel plan, unul din colturi sa fie jos, sa atinga planul bazei piramidei, iar cel din diagonala sa fie undeva mai sus, iar celelalte doua la jumatatea distantei.
Ti-as desena, dar nu pot!
RăspundePăi stai, vorbesti de axele x si y, dar încă nu le-am stabilit; care sunt acelea în raport cu piramida.
Răspunde OK, baza piramidei, daca nu stabilesti nimic, se presupune ca e pe axa x-y, virful fiind in sus, pe axa z.
O să mă mai gândesc la ipoteza asta a ta. Între timp, poate mai vin si alte idei; sau poate mai găsesc chiar eu vreo observaţie care să ne apropie cât mai mult de soluţia căutată. As vrea să stiu exact care este acel plan. Trebuie să treacă prin anumite puncte? sau să fie paralel cu ceva? Reţine si faptul că secţiunea nu este un pătrat, ci un paralelogram.
Patratul este un paralelogram.
Şi asta e adevărat. E un caz particular al paralelogramului.
Am gresit, pana la urma am facut desenul, si, stii vorba aia, practica te omoara . In practica, ipoteza mea da de fapt un trapez.
Nu stiu, dar daca patrulaterul de la baza piramidei e patrat, sigur nu poti obtine sectiunea un paralelogram (facind abstracite de faptul ca patratul e si el un paralelogram). Insa cred ca se poate scoate un paralelogram, functie de laturile patrulaterului
"Nu stiu, dar daca patrulaterul de la baza piramidei e patrat..."
Stai mai întâi să lămurim chestiunea asta si apoi mă uit si pe celălalt răspuns. E a doua oară când menţionezi termenul "pătrat". De ce? În enunţul problemei nu apare acest termen.
Eu am mers pe pătrat pentru ca e forma cea mai simpla. Orice alta forma in afara de paralelogram, complica lucrurile. Gindeste-te cum ar fi în cazul unui trapez dreptunghic.
Am înţeles. Mi se păruse că faci o confuzie, crezând că în enunţ baza piramidei este pătrat.
Am citit si al doilea răspuns. Mi se pare foarte bună ideea cu proiecţia de care zici. Într-adevăr s-ar putea interpreta problema si asa: fiind dat un centru de proiecţie V (vârful piramidei), să se afle un plan pe care un patrulater dat (baza piramidei) să se proiecteze din V după un paralelogram.
Ingenios gândit.
Hai să mai comentăm pe marginea acestei probleme. Ce crezi, problema are o singură soluţie? Adică există doar un plan care satisface condiţiile din enunţ (să taie piramida după un paralelogram)?
O! o! Nu stiu unde mi-a stat capul. În ultimul meu răspuns am scris Nilson în loc de cristi 202. Scuze.
Am modificat acum.
Rezolvarea e mai simpla decat credem noi. O complicam pentru ca pornim din perspectiva patrulaterului. Dar hai sa schimbam direcția, sa pornim din virful piramidei, trecind prin secțiune, si ajungind la patrulater. Încă de la prima vedere îți poti da seama ca e vorba de o proiecție, ca la cinema, razele pornesc dintr-un punct și ajung pe ditamai ecranul. Deci, ca să ai ca secțiune un paralelogram, baza piramidei trebuie sa fie o proiectie a paralelogramului, un paralelogram, care tot patrulater e, la fel ca și cel din secțiune, dar mai mare, funcție de unghiul dintre laturile piramidei și distantei dintre secțiune și virf și secțiune și patrulater.
Q. E. D.
Si mulțumesc frumos, mintea mea s-a bucurat ca a avut de gindit ceva atit de interesant.
Asa se pare, că este posibil. Ar fi interesant de stiut dacă si cum se poate identifica acel plan.
Părerea mea este că dacă am găsit un plan care taie piramida după un paralelogram, prin orice plan paralel cu el secţiunea va fi tot paralelogram. Şi, cum sunt o infinitate de plane paralele cu acel plan, problema are o infinitate de soluţii.
Nu stiu câţi mai sunt interesaţi de topicul acesta, dar dacă mai sunt măcar doi sau trei cred că merită să dezvolt puţin ideea.
Mai întâi, mi se pare genială ideea lui cristi202, de a trata problema ca pe una de proiecţie (ca la cinema, cum a zis el).
Uite si un alt mod (poate mai matematic) în care am abordat eu problema. Mai întâi, am plecat de la o problemă ceva mai simplă, si anume: patrulaterul de secţiune să aibă doar două laturi opuse paralele. Cum s-ar rezolva asta? Păi, două feţe laterale opuse ale piramidei înseamnă două plane care se taie după o dreaptă VE (E fiind în planul bazei, iar V vârful piramidei). Un plan care taie feţele piramidei fiind si paralel cu dreapta VE, va fi planul căutat, adică planul care în secţiune va da un patrulater cu două laturi opuse paralele. Analog gândim si pentru celelalte două feţe opuse ale piramidei, cu care obţinem dreapta VF (F în planul bazei).
Revenind la problema iniţială, putem afirma că planul de secţiune căutat trebuie să fie paralel cu EVF.
Ce ziceţi?
Da, asa e cum zici, mai e posibila o infinitate de solutii.
Mai adauga un aspect: inclinatia virfului piramidei. Virful poate sa fie chiar deasupra mijlocului bazei piramidei, sau poate sa fie la un anumit unghi in afara bazei. Si, desigur ca si acest aspect schimba situatia. Dar, gata, te las, ca si asa ai complicat destul de mult problema.
Dap, esti tare, si eu eram foarte tare la vizualizarea in spatiu (fata de trigonometrie si alte cioace), asa ca m-am dat mare la profesorul cu, care faceam pregatire pe vremea aia, si el m-a amutit
cauta problema de geometrie in spatiu cu furnica, care merge neregulat pe nustiucate suprafete ale unei piramide 
Să lăsăm acum furnica, să ne concentrăm la asta. 
Ok, taierea unei piramide dupa un paralelogram
obtii o noua piramida, mai mica, cu baza si inaltimiliile neregultate
si o baza de piramida, cu baza corecta, dar cu cele patru inaltimi neregulate
intrebarea ta e "e posibil"
raspuns, "evident ca da"
dar care e rezultatul, mai sus am teoretizat cat stiu, success cu restul!
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
