Arhimede a descoperit tot felul de formule matematice într- o perioadă (sec. 3 î.Hr.) la distanță de multe secole de apariția calcului diferențial. Ca să dau doar două exemple, a descoperit că...? (mai mult)

Question

Arhimede a descoperit tot felul de formule matematice într-o perioadă (sec. 3 î.Hr.) la distanță de multe secole de apariția calcului diferențial. Ca să dau doar două exemple, a descoperit că un segment de parabolă are aria egală cu patru treimi din aria triunghiului care are aceeași bază și aceeași înălțime ca segmentul de parabolă. Sau, că volumul sferei este egal cu două treimi din volumul cilindrului circumscris.
Cum credeți că a reușit? Ce metode a folosit?

relian · Answer

Eu nu cred nimic, cel putin pentru ca nu am incercat macar sa vad cum ar fi posibil, odata ce o persoana a aratat cum, nu ar mai fi si alte posibilitati.

Asa ca pe aici nu stiu daca e cineva care crede ceva de la el personal, toti dau raspunsuri din explicatiile lui Arhimede.

Din ce el a lasat, schite si ceo mai fi lasat, nu-s innebunit de matematica si nici nu-s bun la asa ceva :)) recunosc, deci el explica in cazul sferei sa ca folosit de alte forme geometrice cum ar fi cilindru, conul si jumate de sfera.

A pus Jumatatea de sfera intr-un cilindru, sau mai exact punind jumateta de sfera cu latura dreapta jos, a contruit peste un cilindru.
Apoi s-a uitat de sus si i-a venit ideea sa sectioneze acea jumate de sfera si cilindru, in mai multe bucatele, in f f multe, rezultind niste cercuri duble, la care el le stia H. A facut acele sectiuni de la virf spre baza, asa aparu foarte multe cercuri duble, adica cercuri ce faceau parte din semisfera si cercuri ce faceau parte din cilindru.

A facut apoi calcul la cercurile cilindrului :)) cate or fi avut el acolo, cunostea deja grosimea, sau laltimea acelui cerc de cilindru, le-a pus gramada si a aflat volumul cilindrului ce nu facea parte din sfera. A gasit ca acel volum aflat, era identic cu a unui con cu baza si inaltimea acelui cilindru folosit de el.

Asa a aflat ca Volumul acelei jumatati de sfera este egal cu Volumul acelui cilindru, minus volumul acelui con aflat  din sectiunile facute.

Volumul cilindrului il stia, volumul acelui con la aflat, asa a aflat si volumul acelei jumatate de sfera.

A ramas sa inmulteasca cu 2 si afla volumul intregii sfere :)) 

So chinuit ceva, pentru ca din ce el a facut, sau a lasat sa se faca, aceasta formula, sau calcul a fost cea mai mare realizare a sa, de aia a lasat expres, ca pe piatra lui de mormint sa fie desenat un cilindxru cu o sfera in interior.

Ar fi putut sa afla si volumul acelor cercuri ale sferei tot cum a facut-o si cu cele ale cilindrului, dar ar fi trebuie sa inventeze altceva, banui ca de aia a bagat conul in calcul, sa nu inventeze o alta cifra sau mai stiu eu ce numere acolo.

relian · Answer

Ar fi putut afla volumul acelei sfere fara sa mai bage si conul in discutie, dar scopul lui era sa faca o formula.De aia banui,  s-a folosit de con, pentru ca asa cum a calculat volumul acelor cercuri de cilindru, la fel putea calcula si cercurile din sfera, dar sa faca o formula trebuie sa inventeze un alt numar sau altceva, asa ca s-a folosit de con.

Nu stiu, cred am uitat sa spun, ca a feliat acea sfera cu cilindru in felii f f subtiri, cel putin asa spun cei care au studiat schitele gasite si atribute ca fiind ale lui Arhimede.
Acele cercuri lea aflat aria, apoi inmultind cu inaltimea afla volumul fiecaruia in parte.
Deci cam asa a masurat, sau aflat el volumul unei sfere.Chestia ailanta, nu am cautat sa vaz, asta mi s-a parut mai interesanta cu sfera.

trophin · Answer

A trecut prin ani, a facut studii,  masurat triunghiul de mai multe ori pana i-a iesit ceva, chiar daca nici el nu stia ce, dar iesit

RaduRobertRO · Answer

Explicatia e lunga, dar Arhimede a demonstrat că volumul unei sfere este de două treimi din volumul cilindrului înscris în aceeași sferă și că volumul unei sfere este de patru treimi din volumul cilindrului circumscris sferei folosind metoda reducerii la absurd.

sabin89 · Answer

"volumul unei sfere este de două treimi din volumul cilindrului înscris în aceeași sferă"
O sferă în care este înscris un cilindru are volumul mai mare decât volumul cilindrului.

EliLeli · Answer

De pe wiki. Habar nu am ce inseamna toate alea de mai jos, adica mi se si cam rupe, dar vezi ca e tot acolo. Baga nasul in wiki, le gasesti daca te intereseaza. 


"El a folosit metoda epuizării complete pentru a calcula aria unui arc de parabolă prin sumarea unei serii infinite, precum și calculul aproximativ al numărului π cu o acuratețe remarcabilă pentru acele timpuri.[5]"

"Argumentele folosite de Arhimede pentru a determina volumului sferei erau argumente geometrice, dar textele moderne folosesc o versiune simplificată, utilizând conceptul de trecere la limită, care pe vremea lui nu exista explicit, ci doar în germene. Arhimede a folosit o jumătate de poligon înscris într-un semicerc, apoi le-a rotit pe amândouă, pentru a crea o mulțime de trunchiuri de con în interiorul sferei, calculându-i astfel volumul.[5]

Această demonstrație pare a nu fi metoda originală folosită de Arhimede pentru a afla rezultatul, dar este cel mai bun argument formal disponibil în tradiția matematicii grecești. Metoda originală probabil că a implicat folosirea inteligentă a pârghiilor. Descoperirea Manuscrisului lui Arhimede, din 1902,      conține multe lucrări ale lui, inclusiv Metoda Teoremelor Mecanicii, în care descrie o metodă de determinare a volumelor cu ajutorul balanței, al centrului maselor și al porțiunilor infinitezimale."

Bogatu_Valentin_1968 · Answer

Probabil ca intr-adevar a folosit calculul infinitesimal care la vremea aceea inca nu fusese inventat. Spre exemplu volumul cilindrului inscris in sfera este V(cilindru) = pi*R^2*(2R) = 2*pi*R^3
Volumul sferei se calculaza insumand 2N discuri mici de inatime R/N si raza r variabila de la 0 la R
V(sfera) =suma [ pi*r^2*(R/N)] 
(se taie sfera in 2N discuri mici de inaltime R/N)