sunt curios - De ce perioada orbitala a orcarui planete nu este exact proportionala cu raza orbitei sale?

In cazul planetelor forta centripeta este chiar forta gravitationala.
Forta centripetal este data de formula:
F=(m*v^2)/r
unde "m" e masa corpului, "v" viteza, iar "r" este raza.

Forta gravitationala are formula:
F= G*M*m/r^2
unde "G" e o constanta, "m" masa corpului care orbiteaza, "M" masa corpului in jurul caruia se orbiteaza si "r" raza.

Daca egalam cele doua formule si efectuam operatii matematice simple se ajunge la relatia:

v^2=G*M/r (1)

Cu alte cuvinte viteza cu care un corp A orbiteaza un altul B este direct proportionala cu masa corpului B si invers proportionala cu distanta la care A se afla fata de B.

Perioada "T" are formula:
T=2*pi/w (2)
"w" fiind viteza unghiulara, care la randul ei are formula
w=v/r (3)

Din (1), (2) si (3) rezulta:
T=2pi*r/v (4)
Deci perioada este direct proportionala cu raza si invers proportionala cu viteza de rotatie a corpului.
Daca ridicam relatia (4) la patrat si inlocuim pe (1) in ea obtinem cea de a 3-a lege a lui Kepler.



Deci iata justificarea fizica. Intuitiv ca cu cat viteza corpului ce orbiteaza planeta este mai mare cu atat si timpul in care va parcurge o rotatie complete (perioada) va fi mai mic.



O a doua intrebare ar fi "De ce corpuri aflate la distante diferite orbiteaza cu viteze diferite?" (vezi legea a II-a a lui Kepler.
Explicatia este data de conservarea momentului cinetic L=r*M*v.
Daca raza creste atunci viteza scade si viceversa pentru ca momentul cinetic "L" sa ramana constant.