Ce parere aveti despre Paradoxul lui Russell?

Nu ne propunem să oferim în detaliu varianta formalizată a Paradoxului lui Russel. Câteva precizări sunt însă indispensabile înţelegerii lui.

Paradoxul lui Russel are două versiuni:
în termenii logicii claselor.
în termenii logicii predicatelor.



Versiunea I:

Există două tipuri de clase:
clase care se autoconţin A
clase care nu se autoconţin A A



Luăm acum clasa tuturor claselor care nu-şi aparţin. Se pune întrebarea: clasa claselor care nu se autoconţin se autoconţine sau nu? Dacă pornim cu ideea că se autoconţine ajungem la concluzia că nu se autoconţine.

Versiunea II:

Predicatele se împart în două categorii: predicate care se aplică lor însele, deci care sunt predicabile şi predicate care nu se aplică lor însele, deci impredicabile.

Dacă pentru predicabile e imposibil de găsit un exemplu (Russel însuşi nu ştia ce natură au astfel de predicate deşi presupunea o astfel de posibilitate), pentru impredicabile am putea da ca exemplu întrebarea: Este culoarea roşie, roşie? E clar că ea nu poate fi roşie, decât lucrurile sunt roşii. Cu alte cuvinte conceptul de număr par nu poate fi par ci numerele sunt pare. Universalul nu se aplică lui însuşi. Avem o totalitate a tuturor predicatelor. Se pune atunci problema: predicatul de impredicabil se aplică lui însuşi sau nu? Dacă impredicabilul se aplică lui însuşi înseamnă că el are proprietatea pe care el o afirmă şi atunci impredicabilul este impredicabil. Asta înseamnă că nu se aplică lui însuşi.

Russel încearcă să elimine paradoxul oferind drept soluţie teoria tipurilor. Această teorie elimină conceptul de predicabil, ceea ce înseamnă că nici un predicat nu se aplică lui însuşi.

Teoria tipurilor este constituită pe principiul ierarhizării unde mulţimea ( clasa) este de un tip superior tipului elementelor sale. În ierarhia tipurilor, o entitate aparţine doar unui singur tip. O proprietate nu poate fi atribuită decât unei entităţi de tip inferior tipului respectivei proprietăţi.

După teoria tipurilor, mulţimea tuturor mulţimilor este considerată de tip superior tipului ei înseşi[7].

Propoziţiile se împart la Russel[8] în 3 categorii:
adevărate (ex. 2+2= 4);
false (ex. 2+2=7);
nici adevărate nici false, ci fără sens (Sinnloss)

(ex. 2+2=albastru, 2+2=cafea).

Propoziţiile false au sens, dar nu sunt adevărate, în timp ce propoziţiile fără sens nu sunt nici false nici adevărate[9].

Împărţirea tripartită a propoziţiilor este de fapt o consecinţă a teoriei tipurilor întrucât aceasta limitează tipurile de predicate care pot reveni unui obiect. Pentru a da un exemplu plastic, să ne imaginăm un bloc cu o infinitate de etaje. Teoria tipurilor ne spune că nu poţi sări de la etajul 2 la etajul 4, ci că trebuie să treci prin etajul 3. Propoziţiile fără sens fac asemenea salturi pe etajele tipurilor logice, vor să sară de la etajul 2 la etajul 4.

Prin teoria tipurilor Bertrand Russel a reuşit să salveze logicismul iar prin formularea paradoxului a generat progrese în diverse ramuri ale matematicii, deschizând calea discursului metamatematic. [1] Russel iniţiază atomismul logic ca reacţie critică la teoriile legate de fundamentele matematicii însă o amplă dezvoltare a acestui curent va fi realizată de către Wittgenstein.

[2] Pentru amănunte biografice vezi Anton Hügli şi Paul Lübcke (coordonator), Filosofia în secolul XX, vol. 2, trad. rom. de Andrei Apostol, Mihnea Căpraru, Cristian Lupu, editura ALL Educaţional, Bucureşti, 2003, p. 84-87.

[3] ibidem p. 91

[4] Anul identificării paradoxului reiese dintr-o scrisoare adresată de către Russel lui Couturat.

[5] În literatura de specialitate se vehiculează şi ideea că paradoxul a fost de fapt descoperit de matematicianul Ernst Zermelo cu un an sau doi înaintea lui Russel. De altfel în limba germană în denumirea paradoxului figurează şi numele lui Zermelo (Zermelo-Russellsches paradoxon). Chiar dacă aşa ar sta lucrurile, Russel are meritul incontestabil de a-l descrie şi prezenta în premieră comunităţii ştiinţifice.

[6] Vezi Dr. Dorin Mărghidanu, Paradoxul lui Russel şi câteva variante populare ale sale, http://egovbus.net/rdl/articole/No 1 ART 15. pdf

[7] ibidem

[8] Cele trei categorii de propoziţii se regăsesc şi în analizele lui Carnap şi Wittgenstein.

[9] O astfel de propoziţie fără sens este celebra dilemă vehiculată în perioada scolastică: Poate face Dumnezeu o piatră mai mare decât ar putea-o ridica? La această întreabare nu există un răspuns logic pentru că e incorect formulată: introduce negaţia în statutul ontologic al Infinitului, or se ştie că Infinitul (Dumnezeu, Absolutul) e supra afirmativ şi supra negativ. Pam pam pam pam...