De unde provine formula ariei cercului piRla2?

In primul rand, felicitari ca-ti pui intrebarea asta. Daca intelegi procesul, o sa fi in stare sa calculezi aria la aproape orice fel de volum.

Archimede a demonstrat intuitiv pentru acea data: http://www.youtube.com/watch?v=N2PM_Oda8d0

Exista mai multe demonstratii pentru aria cercului, insa cea mai intuitiva este cea pe care o inveti in clasa a XI-a(cel putin e prin manual)

Se inscrie cercul intr-un poligon. Precum octogonul din video. Cu cat ai mai multe laturi, cu atat mai bine aproximeaza aria poligonului pe cea a cercului. Se imparte poligonul ala in triunghiuri egale. Gandeste-te la un tort pe care il tai in felii egale de forma triunghiulara cu varful in centru. Deci ariile triunghiurilor vor fi egale, la fel si unghiurile dintre laturi=> triunghi isoscel. De aici stim ca aria cercului va fi aproximata cu totalitatea ariilor triunghiurilor. Adica n*aria_unui_triunghi(ca doar sunt identice). Cu cat n e mai mare, cu atat triunghiurile sunt mai mici si aproximarea mai buna.
http://www.ugrad.math.ubc.ca/......medes.html

Acum, aria unui triunghi din ala e b*h/2. Inaltimea e chiar raza, iar baza se poate scrie, avand in vedere ca e isoscel, 2*h*tan(alpha/2). Inmultirea cu 2 e pentru ca h*tan(alpha/2) inseamna doar jumate de baza(doar primul triunghi dreptunghic determinat de inaltime). Alpha este unghiul dintre laturile ce pornesc din centrul cercului.

Deci aria unui triunghi este prin urmare (2*h*tan(alpha/2)*h)/2 = h^2*tan(alpha/2). Te uiti pe figura si vezi ca unghiurile de la varfurile triunghiurilor sunt egale(felii egale), deci alpha=2pi/n(360grade impartit la nr de triunghiuri). Rezulta aria unui triunghi = h^2*tan(pi/n). Ne imaginam o infinitate de triunghiuri din astea, deci n tinde la infinit(concept de limita cls a XI-a). Acum ca sa aflam aria cercului aproximata, adunam ariile triunghiurilor(practic o arie o inmultim cu n).
A_cerc = lim cand n->infinit din n*h^2*tan(pi/n).Limita aia e infinit*0, nedeterminare. Scrie n ca 1/(1/n)(il inversam in fractie) si inmultim si impartim printr-un pi ca se avem la numitor argumentul tangentei.
Deci aria_cerc= lim (pi*h^2*tan(pi/n))/(pi/n)

In clasa a XI-a inveti ca limita cand x->0 tg(x)/x=lim sin(x)/x=1. Cum putem considera x=pi/n care tinde la 0(n e foarte mare, deci e un numar impartit la ceva foarte foarte mare) aria_cerc=pi*h^2=pi*r^2.

In clasa a XI-a o sa intelegi ce-i cu limita aia. Nu e greu de imaginat. De asemenea, aria cercului mai poate fi determinata, prin procedee de analiza, si cu ajutorul integralei, dar demonstratia pe care ti-am dat-o e o transpunere moderne a demonstratiei lui archimedes(pe atunci nu era dezvoltat calculul infinitzimal)

O demonstratie pentru limita aia tgx/x e geometrica si o gasesti pe net.