Exista un numar infinit de numere naturale: 1, 2, 3, etc.
Daca luam acest infinit si il inmultim cu 2 rezultatul va fi tot infinit. Dar contine acest nou infinit mai multe numere decat cel anterior? Este el mai mare? Ce parere aveti?
Dar daca facem 2^infinit? Obtinem un infinit ce contine mai multe elemente?

Raspuns:
1,2,3,4,5... infinit1

2*infinit1=infinit2
Caz in care infinit1=infinit2

2^infinit1=infinit2
De data aceasta:
infinit2>infinit1

"2^infinit? Obtinem un infinit ce contine mai multe elemente"

inutil, "nelimitat" e așa cum se aude, indiferent de câte ori o pronunți

Ca să răspunzi la întrebare, să pornim de la modul în care evaluăm cantitățile și comparăm din acest punct de vedere mulțimile. Observă că cuvântul mulțime are în el inclus cuvântul mult.
Mullțimile le comparăm prin echivalență, care este operație matematică. Aș avea nevoie să fac un desen, dar o să mă descurc cu o descriere. Avem 3 mere și 3 pere în două mulțimi diferite. La fiecare măr îi corespunde o pară și numai una. Numim cele două mulțimi egale, prin această operație. Astfel egalitatea a două mulțimi este o operație de echivalență, de corespondență unu la unu între elementele celor două mulțimi. Dacă avem o pară în plus, aceasta nu mai poate fi unită printr-o unică săgeată, sau linie cu un măr. Atunci spunem că mulțimea perelor este mai mare decât mulțimea merelor. Egal înseamnă echivalent cu, adică aceeași cantitate.
Astfel numerele 1, 2, 3, ... sunt semne pentru clase de echivalență între două mulțimi. La toate mulțimile care conțin 3 elemente le asociem simbolul 3.
Din acest moment am ieșit din lumea fizică în zona simbolurilor matematice, care este o lume de semne. Realitățile, viața, relațiile de aici sunt abstracții ( extracții ab, extracții din=ab, din lumea lucrurilor, dar este o lume diferită de lumea lucrurilor) și acest legi se supun logicii, și trebuie să fie legi coerente, non contradictorii. În această lume, nu poate fi adevărată și legea A și legea non A, de o dată.
Constatăm că putem obține un număr mai mare, semn al unei mulțimi mai mari adăugând semnul 1 la aceasta. Astfel m=n+1 indică o mulțime m mai mare decât n.
Acest proces putem să îl continuăm fără a ne opri. Acest proces, a continua, sau a ne opri, este o modalitate, un concept matematic, referitor la această lume de semne.
Intuim, concepem că acest proces pare că nu are a avea un sfârșit. La fiecare mulțime n există o mulțime m, mai mare decât ea, n+1.
Atunci orice număr de tipul n+1, îl numim număr natural.
Să luăm 3 mere. 3 este un număr finit, pe care îl putem intui ușor. O asemenea cantitate are graniță, limită gard.
Dar procesul care nu se mai termină ( nu se mai termină este o operație matematică, abstractă, referitoare la aceste mulțimi de semne) generează mulțimi tot mai mari. Putem defini conceptul de limită, de gard, de mulțime finită.
Dar o mulțime fără gard, rezultată din acest proces care nu se mai termină, care nu are sfârșit?
Atunci cu mintea creem o entitate care nu are limite și o numim mulțime infinită.
Prima întrebare este, este aceasta o mulțime? Este această mulțime fără gard, asemănătoare cu o mulțime finită, cu una care are gard, limite?
Ce proprietăți are ea, ca să o putem numi mulțime? Orice mulțime măsoară cantități. iar această măsurare este o relație de echivalență cu altă mulțime.
Dar o mulțime fără gard, fără limite, cu cine o comparăm ca să determinăm câte elemente are? Nu o putem compara cu o mulțime finită, că aceea are gard.
Astfel o mulțime infinită nu este echivalentă cu nici o mulțime finită. Dacă nu este echivalentă cu nici o mulțime finită, înseamnă că este o entitate tot din lumea semnelor matematice, dar este altceva. Numerele, semnele 1, 2, 3, nu o mai pot caracteriza, căci acestea se referă la mulțimi finite.
Astfel, câte elemente are ea, cât de mare este ea, numerele, semnele numerele naturale nu ne sunt de folos, căci ele nu pot stabili clase de echivalennță cu ea. Nu seamănă cu nimic finit și nu putem să o comparăm cu o mulțime finită ca să spunem câte elemente are. Dar fiindcă suma unor cantități este o cantitate, intuim că și această mulțime fără gard, are și ea o cantitate de elemente. Ce putem spune despre această cantitate, cât de mare este această mulțime infinită cât de multe elemente are, în total? Cum putem să definim acest mult?
O putem compara doar cu altă mulțime infinită, fără gard. Așa, cum dta ai sugerat, să comparăm mulțimea n cu mulțimea 2n. Și am constatat că putem face o echivalență unu la 1 între mulțimea n și mulțimea 2n. Ele au acelaș număr de elemente. Este ciudat, căci am obținut 2n din n, deși ne-am aștepta ca 2n să aibă un număr dublu de elemente. Și am constatat că nu este așa. Concluzia este că legile mulțimilor finite nu mai funcționează în cazul mulțimilor infinite, aici este o altă lume, cu alte legi.
Dar acest număr nu este de tipul 1, 2, 3. aceste semne referindu-se la mulțimi cu limite, la mărimi cu gard. Numim numerele 1, 2, 3 numere cardinale. Este o modalitate de a denumi mulțimile finite, cu gard.
Despre mulțimile n, 2n, unde n poate lua orice valoare, oricât de mare, putem spune că sunt egale, fiindcă au acelaș număr de elemente. Dar acest număr, cantitatea numerelor dintr-o mulțime infinită, nu seamănă, nu este din lumea, clasa numerelor, semnelor 1, 2, 3 și nu se supune la legile numerele finite. Este altceva din zona mulțimilor fără gard, fără sfârșit. Numim acest număr număr ordinal. Astfel mulțimea tuturor numerolor naturale, ( când spun toate, spun toate, fără limită fără gard, la nesfâșit), spunem că are Ordinalul UNU, și îl notăm cu litera greceasca Alfa sau ebraică Alef. Astfel începe o matematică a mulțimilor infinite, care este alta decât a mulțimilor cu limite, cu gard la margine.
Atât mi-am amintit din studiile mele matematice. și am redat intuitiv. Îmi cer scuze pentru erorile posibile, prin trecerea de la riguros la intuitiv.

Posibil sa da, probabil sa nu.
Daca te referi ca înmulțești cu 2 fiecare număr obții dublul lui, iar dacă ridiculizat la pătrat obții pătratul numărului. Poți înmulți fiecare numar și cu 9999999999999999999999 ca tot atâtea elemente ai.

Cred că asta e ordinea:

Countable Infinity
Aleph Null
Uncountable Infinity
Aleph One
Epsilon One
Cantor Ordinal
Feferman Schutte Ordinal
Absolute Infinity
Desi tinzi sa crezi ca totul poate fi luat de la zero iar, gen "2 infinitati absolute, 3 etc", nu prea are sens daca te gandesti ca o infinitate aboluta e maximul. Sau daca te gândești mai departe pe asta, te trezești cu o palmă peste ceafă de la univers care îți spune "mai taci dracu".

Este infinitul un numar ca sa poata fi inmultit, comparat si asa mai departe sau doar un alt cuvant sinonim cu nesfarsit? Cam asa suna intrebarea ta, am sau nu dreptate?

In teorie rezultatul cred ca este infinit pentru fiecare dintre calculele date, dar in practica cred ca stii ce cred despre infinit .

Care e mai greu?
un kilogram de plumb?
sau un kilogram de puf de pene?

EXACT ASTA INTREBI TU

NU EXISTA UN INFINIT MAI MARE CA ALTUL
daca un infinit e intr-adevar infinit atunci nici un alt infinit nu poate fi mai mare sau mai mic ci tot INFINIT

Acum o oră | Dorotheea21 a răspuns pentru JicaContra.

Sa inmultesti un infinit de doua ori, e ca si cum ai număra o bilă de două ori.