Exista vreo legatura intre determinantul unei matrice si notiunea de arie sau volum?

Question

T0T · Answer

Aria triunghiului este 1/2* determinantul matricii constituite de coordonatele punctelor și ultima coloană unitară(adică formată din cifra 1).  Adică dacă ai un triunghi ABC, cu punctele de coordonate la general xP, yP unde P e litera corespunzătoare punctului, Aria va fi= cu xA*yB+xB*yC+yA*xC-xC*yB-yC*xA-xB*yA. Asta ne învață în liceu paralel cu ecuația dreptei care de asemenea are legătură cu matricea și de asemenea constituie o condiție(dacă = 0) pentru a demonstra coliniaritatea a 3 puncte. Odată ce îți dai seama că este o formă mai generală a acestui fapt realizezi că poți demonstra coliniaritatea a mai mult de 3 puncte sau mai mult, să calculezi aria unor figuri mai complexe decât a unui simplu triunghi, însă asta ne e școala, învățăm porțiuni, dar de unde vin ele, Dumnezeu știe...De fapt varianta semi-full este numită ca formula ariei lui Gauss. Vorbim de fapt de formarea unor triunghiuri din 2 dintre puncte și centrul(originea) de coordonate 0 și 0,    care să alcătuiască figura a cărei arie o calculăm.  Se poate găsi și o formulă pentru o figură care conține curbe, adică formula full(care parcă și aia e făcută pe la școală sau facultate- unde se dau destule demonstrații însă e nevoie de studiu individual pentru a înțelege, volumul de materie fiind unul destul de mare), o formulă reprezentată de o integrală circulară. Pentru volum coordonatele sunt puse în determinant, toate(vorbind de volumul unui paralelipiped, sau ca în cazul triunghiului facem o formulă cu 1/2 și obținem jumătatea unui paralelipiped, în cazul triunghiului fiind vorba de un paralelogram, de acolo și acel 1/2, deci). Nu mai am chef să dezvolt mai mult, însă se poate dezvolta, găsi o formă și se poate demonstra, prin anumite metode, însă răspunsul ar deveni unul extrem de lung iar întrebarea nu o cere... xD

Inferno · Answer

Nu cred  ca e nevoie sa deducem o formula. Determinantul are legatura prin propria lui definitie cu aria si volumul.
Spre exemplu determinantul unei matrici (a,b; c, d) este aria paralelogramului format de vectorii [a, b], respectiv [c, d]. Modului lui mai exact, pentru ca determinantul poate if si negativ.  Pentru o matrice cu 3X3 determinantul va fi volumul paralelipipedului ce se sprijina pe cei trei vectori.  

Faptul ca putem calcula aria unui triunghi ca fiind 1/2 dintr-un determinant e o consecinta a acestui lucru.

T0T · Answer

Chestia interesantă e că plecând de la acest fapt, cum am zis, se poate calcula aria unor figuri mult mai complicate, folosindu-te de triunghiuri( aria lor obținută din aria paralelogramului * 1/2- multe demonstrații plecând de la paralelogram). De aia din prima am pus accentul pe ele. Desigur, determinantul matricii face în primul rând referire la aria paralelogramului sau volumul paralelipipedului. Însă am cam sărit peste întrebare și am încercat să trec la ceva mai serios, puțin. Răspunsul direct era mult mai simplu, adică ceea ce ai spus tu acum.

T0T · Answer

Vorbind de 2 vectori, vorbești de origine(ei plecând din origine). Formula mai generală e cea spusă de mine în primele propoziții. Mai generală în sensul în care fiecare punct al triunghiului poate avea coordonate diferite de 0.   Adică de exemplu A(xA,yA),B(xB,yB), C(xC, yC). Atunci ajungi la ce am spus mai sus. Se poate obține aria unui triunghi(sau paralelogram/2) ca determinatul unei matrice 2x2 doar dacă unul dintre puncte are coordonatele 0 și 0.