Facand curat am dat peste un fel de piese lego ceva mai vechi. Spun "un fel" pentru ca nu arata deloc ca piesele lego obisnuite, toate sunt din lemn si au forma de cuburi cu lungimile laturilor diferite.
Si mai din plictiseala mai din joaca mi-a venit ideea sa asez un cub cu latura de 1 deasupra unui cub cu latura de 2 si sa-mi pun întrebarea: "De cate cuburi cu latura de 1 mai am nevoie pentru a completa constructia si a forma un paralelipiped dreptunghic?" Evident, am mai avut nevoie de inca 3 cuburi cu latura de 1.
Dupa care am luat un cub cu latura de 1 si l-am asezat deasupra unuia cu latura de doi (ceea ce facusem si inainte), asezand ulterior toata aceasta constructie deasupra unui cub cu latura de 3. Mi-am pus iar întrebarea de mai sus, iar raspunsul a fost: 18 cuburi cu latura de 1.
Mai mult nu am putut sa continui pentru ca nu imi ajungeau cuburile.
Se poate gasi insa o formula matematica care sa imi spuna, pentru o constructie cu "n" cuburi asezate dupa logica de mai sus, de cate cuburi cu latura 1 am nevoie pentru a forma un paralelipiped dreptunghic?
P.S.: TPU a luat-o razna rau de tot. Mi-a sters intrebarea pe motiv ca ar fi spam. In mintea unora incerc doar sa fac reclama la LEGO. Inca o confirmare ca batrunul Einstein avea dreptate...
Pentru a găsi o generalizare în primul rând trebuie să înțelegem mecanismul. Eu nu dispun din păcate de asemenea piese, dar imaginația ne ajută să dispunem și de ceea ce nu avem în mână, cam la asta se rezumă o mare parte din matematică. Pentru a înțelege mecanismul mă voi lega de aceste 3 exemple, cele 2 prezentate de tine și cel pe care ți-am spus să mi-l confirmi.
Ex1.(exemplul 1)
Pentru latura de 2. Ne gândim câte cuburi mai putem pune pe suprafața rămasă. Acea suprafață rămasă reprezintă suprafața cubului de la bază din care se scade suprafața cubului care este pe bază. Deci 2*2(2 fiind latura bazei)-1(1 fiind latura cubului de sus)=4-1=3.
Ex2. Pentru latura de 3. În exemplul ăsta intervine un nou factor de care va trebuie să ținem cont, înălțimea. În Ex1. înălțimea cubului de de-asupra era 1(e egală cu latura) deci trebuia să înmulțim cu 1 ceea ce nu influența calculele. Deci luăm aria bazei și din ea scădem aria suprafeței cubului ce se află deasupra.
3*3-2*2=5
Această suprafață trebuie să fie completată de 2 ori (de înălțimea cubului de de-asupra care e 2) de aia o să înmulțim cu 2.
5*2=10 (1)
Am ajuns la următorul nivel. Acolo întâlnim cubul de latură cea mai mică însă suprafața pe care se află este aceeași ca până acum.
3*3-1*1=8.
8*1=8(2)
Așa am reușit să completăm figura de paralelipiped dreptunghic. Am lucrat pe 2 nivele(sau niveluri poate era mai corect, nu contează), primul cel la care se află cubul de 2 și al doilea cel la care se află cubul de 1 deci rezultatele sunt obținute pentru nivele diferite. Ca să spunem numărul de cuburi total însumăm nivelele și obținem:
(1)+(2)=10+8=18
Ex3. Pe același principiu vom merge pentru baza cubului de 4 sau altfel spus pentru numărul total de cuburi de 4. Însă aici vom avea 3 nivele pe care vom completa.
1)4*4-3*3=16-9=7
7*3=21
2)4*4-2*2=16-4=12
12*2=24
3)4*4-1*1=15
15*1=15
Însumăm nivelele: 21+24+15=60
Urmărind aceste exemple deja observăm că se urmează un set bine definit de (n-1) pași deci putem ajunge la o generalizare cel mai probabil. În demonstrarea mea nu o să introduc inducții sau alte minuni însă voi încerca să generalizez cazurile(câteva) și să ajung la o formă finală.
O să iau de exemplu pentru exemplul 2.
A3-A2=5(ariile cuburilor de 2 respectiv 3)
N1(nivelul 1)=5*h2(înălțimea pentru cub de latură 2)=5*2=10
Sau mau general spus:
(A3-A2)*h2=10
(A3-A1)*h1=8
Noi va trebui să însumăm deci vom avea totuși de calculat o mare sumă. Observând asta și înlocuind Aria feței bazei cu n*n(n fiind latura bazei) putem ajunge la niște cazuri mai generale:
(n^2-(n-1)^2)*(n-1) +
(n^2-(n-2)^2)*(n-2) +
(n^2-(n-3)^2)*(n-3) +...(voi evita de acum punctele ca să se poată trimite)
( (n-2)^2, (n-3)^2, etc. find suprafețele fețelor cuburilor de deasupra)
Acum vom calcula pătratul binomului.
(n^2-(n^2-2n+1))*(n-1)+
(n^2-(n^2-4n+4))*(n-2)+
(n^2-(n^2-6n+9))*(n-3)+
De aici observăm că se reduce n^2 și obținem:
(2n-1)(n-1)+
(4n-4)(n-2)+
(6n-9)(n-3)+
Desfacem parantezele:
2n^2-3n+1+
4n^2-12n+8+
6n^2-27n+27+
Am ajuns într-un prag în care nu mai putem face calcule pur și simplu. Trebuie să intuim regula după cum avansează coeficienții lui n^2, n^1 și respectiv n^0:
1*2n^2-3*1^2n+1^3+
2*2n^2-3*2^2n+2^3+
3*2n^2-3*3^2n+3^3+
Cam asta ar fi regula pe care ar fi trebuit să o arătăm poate pe baze mai largi, cum ar fi folosind inducția dar fiind pe TPU se iartă. Acum vom aduna pe coloană:
2n^2(1+2+3+ +n)-3n(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+1^3+2^3+3^3+...+n^3.(3)
Avem formulele pentru acele sume:
1+2+3+ +n=n*(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+ +n^2=n(n+1)(2n+1)/2
1^3+2^3+3^3+ +n^3=(n(n+1)/2)^2
Înlocuim în relația (3):
2n^2(n(n+1)/2)-3n*(n(n+1)(2n+1)/6)+(n(n+1)/2)^2=
n^3(n+1)-n^2(n+1)(2n+1)/2+n^2*(n+1)^2/4
Scoatem factor comun pe n^2(n+1):
n^2(n+1)(n-n-1/2+(n+1)/4)=
n^2(n+1)(n-1)/4
Deci formula căutată este: n^2(n^2-1)/4
Răspunde
Ordonare:
După relevanţă
Cuburile de lemn au fost si sunt destinate invatarii copiilor logica (si nu numai), prin propriile lor experienta.
Din pacate, aceste jocuri incep sa fie uitate, locul lor fiind preluate de "telefoane destepte" si altele.
Nu stiu cand am vazut ultima data fetele tinere jucandu-se cu coarda, facandu-si papusi si rochite pentru ele, baietii urcand in copaci si alte asemenea jocuri de copii, din care sa-si faca bazele experientei de viata si sa se miste afara, din joaca.
Daca se continua astfel, peste 1-2 generatii tinerii vor citi despre natura doar din carti de povesti... daca vor citi.
Răspunde
Sigur ca metoda aratata de tine este mai simpla, mai "matematica". Dar e impresionanta rigurozitatea cu care a lucrat si ToT193, si faptul ca la calcule atat de laborioase nu a facut nicio greseala, ajungand exact la aceeasi formula. Incepusem si eu sa calculez, dar m-am pierdut pe drum.
Eu de fapt incercam sa demonstrez geometric relatia intre suma cuburilor si patratul sumei: 1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2 Asa ca practic am formulat problema pornind direct de la demonstratie.
Cand am incercat si o alta demonstratie tot la rationamentul lui ToT193 am ajuns, insa eram destul de sigur ca e imposibil de demonstrat asa iar in cel mai bun caz voi obtine o relatie de recurenta inutila. Se pare insa ca toate drumurile duc la Roma.
Ti se pare insa evident ca suma volumelor unor cuburi asezate unele peste altele este egala cu aria patratului ce are ca latura inaltimea intregii constructii? Parca interpretarea geometrica este chiar mai abstracta decat cea numerica.
Răspunde 3^3 + 4^3 + 5^3 nu este egal cu (3+4+5)^2. Deci trebuie sa stabilim odata la ce numere ne referim.
Trebuie să o iei de la 1 adică gen:
(1+2+3+...+n)^2=1^3+2^3+3^3+...+n^3
Mi-am luat 4 minute din timp și ți-am făcut și un progrămel dând o valoare aleatorie pentru acel n:
https://postimg.org/image/s65c57ke9/
Pentru 4 ar fi 60? Dacă da, înseamnă că am rezolvat-o. Pentru n= 2 și 3 mi-a dat, n fiind latura cubului de la bază. Aștept să îmi infirmi sau să îmi confirmi. Dacă îmi confirmi îți voi detalia pașii și îți voi spune formula.
Da,asta trebuie sa fie. Se poate ajunge mai usor la formula daca ai calcula diferenta intre volumul paralelipipedului si volumul real al constructiei. Diferenta fiind chiar numarul de cuburi necesare pentru a umple constructia.
Volumul paralelipipedului este aria bazei x inaltimea.
aria bazei=n^2
inaltimea=(1+2+3+...+n)=n(n+1)/2
Volumul paralelipipedului= n^2*n(n+1)/2
Volumul real al constructiei este dat de suma volumelor tuturor cuburilor: 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2
Facand diferenta intre cele doua ajungi in final tot la formula n^2(n^2-1)/4
Pentru a găsi o generalizare în primul rând trebuie să înțelegem mecanismul. Eu nu dispun din păcate de asemenea piese, dar imaginația ne ajută să dispunem și de ceea ce nu avem în mână, cam la asta se rezumă o mare parte din matematică. Pentru a înțelege mecanismul mă voi lega de aceste 3 exemple, cele 2 prezentate de tine și cel pe care ți-am spus să mi-l confirmi.
Ex1.(exemplul 1)
Pentru latura de 2. Ne gândim câte cuburi mai putem pune pe suprafața rămasă. Acea suprafață rămasă reprezintă suprafața cubului de la bază din care se scade suprafața cubului care este pe bază. Deci 2*2(2 fiind latura bazei)-1(1 fiind latura cubului de sus)=4-1=3.
Ex2. Pentru latura de 3. În exemplul ăsta intervine un nou factor de care va trebuie să ținem cont, înălțimea. În Ex1. înălțimea cubului de de-asupra era 1(e egală cu latura) deci trebuia să înmulțim cu 1 ceea ce nu influența calculele. Deci luăm aria bazei și din ea scădem aria suprafeței cubului ce se află deasupra.
3*3-2*2=5
Această suprafață trebuie să fie completată de 2 ori (de înălțimea cubului de de-asupra care e 2) de aia o să înmulțim cu 2.
5*2=10 (1)
Am ajuns la următorul nivel. Acolo întâlnim cubul de latură cea mai mică însă suprafața pe care se află este aceeași ca până acum.
3*3-1*1=8.
8*1=8(2)
Așa am reușit să completăm figura de paralelipiped dreptunghic. Am lucrat pe 2 nivele(sau niveluri poate era mai corect, nu contează), primul cel la care se află cubul de 2 și al doilea cel la care se află cubul de 1 deci rezultatele sunt obținute pentru nivele diferite. Ca să spunem numărul de cuburi total însumăm nivelele și obținem:
(1)+(2)=10+8=18
Ex3. Pe același principiu vom merge pentru baza cubului de 4 sau altfel spus pentru numărul total de cuburi de 4. Însă aici vom avea 3 nivele pe care vom completa.
1)4*4-3*3=16-9=7
7*3=21
2)4*4-2*2=16-4=12
12*2=24
3)4*4-1*1=15
15*1=15
Însumăm nivelele: 21+24+15=60
Urmărind aceste exemple deja observăm că se urmează un set bine definit de (n-1) pași deci putem ajunge la o generalizare cel mai probabil. În demonstrarea mea nu o să introduc inducții sau alte minuni însă voi încerca să generalizez cazurile(câteva) și să ajung la o formă finală.
O să iau de exemplu pentru exemplul 2.
A3-A2=5(ariile cuburilor de 2 respectiv 3)
N1(nivelul 1)=5*h2(înălțimea pentru cub de latură 2)=5*2=10
Sau mau general spus:
(A3-A2)*h2=10
(A3-A1)*h1=8
Noi va trebui să însumăm deci vom avea totuși de calculat o mare sumă. Observând asta și înlocuind Aria feței bazei cu n*n(n fiind latura bazei) putem ajunge la niște cazuri mai generale:
(n^2-(n-1)^2)*(n-1) +
(n^2-(n-2)^2)*(n-2) +
(n^2-(n-3)^2)*(n-3) +...(voi evita de acum punctele ca să se poată trimite)
( (n-2)^2, (n-3)^2, etc. find suprafețele fețelor cuburilor de deasupra)
Acum vom calcula pătratul binomului.
(n^2-(n^2-2n+1))*(n-1)+
(n^2-(n^2-4n+4))*(n-2)+
(n^2-(n^2-6n+9))*(n-3)+
De aici observăm că se reduce n^2 și obținem:
(2n-1)(n-1)+
(4n-4)(n-2)+
(6n-9)(n-3)+
Desfacem parantezele:
2n^2-3n+1+
4n^2-12n+8+
6n^2-27n+27+
Am ajuns într-un prag în care nu mai putem face calcule pur și simplu. Trebuie să intuim regula după cum avansează coeficienții lui n^2, n^1 și respectiv n^0:
1*2n^2-3*1^2n+1^3+
2*2n^2-3*2^2n+2^3+
3*2n^2-3*3^2n+3^3+
Cam asta ar fi regula pe care ar fi trebuit să o arătăm poate pe baze mai largi, cum ar fi folosind inducția dar fiind pe TPU se iartă. Acum vom aduna pe coloană:
2n^2(1+2+3+ +n)-3n(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+1^3+2^3+3^3+...+n^3.(3)
Avem formulele pentru acele sume:
1+2+3+ +n=n*(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+ +n^2=n(n+1)(2n+1)/2
1^3+2^3+3^3+ +n^3=(n(n+1)/2)^2
Înlocuim în relația (3):
2n^2(n(n+1)/2)-3n*(n(n+1)(2n+1)/6)+(n(n+1)/2)^2=
n^3(n+1)-n^2(n+1)(2n+1)/2+n^2*(n+1)^2/4
Scoatem factor comun pe n^2(n+1):
n^2(n+1)(n-n-1/2+(n+1)/4)=
n^2(n+1)(n-1)/4
Deci formula căutată este: n^2(n^2-1)/4
-
anonim_4396 întreabă:
1 răspuns
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
