Iata un joculet interesant- inspirat dintr-o problema clasica.
Trei biletele albe pe o fata, iar pe cealalta culorile difera pentru fiecare bilet. Avem rosu, albastru si galben.
Biletele sunt pozitionate cu partea alba in sus astfel incat sa nu se poata determina culoarea lor.

Scenariul este urmatorul:
Se alege un bilet pur intamplator. Probabilitatea ca el sa fie de culoare rosie este evident 1/3.

Se intoarce cu fata in sus un alt bilet,avand culoare galbena.
Cunoscand aceasta noua informatie (?) care e probabilitatea ca biletelul ales anterior sa fie de culoare rosie?
Cantitativ vorbind, probabilitatea s-a micsorat, a ramas constanta sau a crescut?

Tocmai modul cum sunt influentate sansele de castig de faptul ca se schimba decizia initiala face interesanta problema Monty Hall, pentru ca altfel nu ar fi prea multe de discutat.
Dar sa lasam asta.
Uite o parte dintr-un raspuns postat de tine mai sus;
' Ai trei posibilitati si doar o varianta favorabila, deci probabilitatea, in cazul in care iti pastrezi alegerea este 1/3.

Daca iti schimbi alegerea exista trei varianta.
1. Ai ales initial masina, dar dupa ai schimbat ramanand cu o capra.
2.Ai ales initial prima capra, dar dupa ai schimbat si ai ramas cu masina.
3.Ai ales initial a doua captra, dar dupa ai schimbat si ai ramas cu masina.
Exista deci 3 posibilitati, ditre care 2 sunt favorabile. Probabilitatea este 2/3.'
Inlocuieste tu acolo caprele si masina cu cartonasele si sa-mi spui dupa aceea ce ti-a iesit si la ce concluzii eronate ai ajuns anterior in unele din raspunsurile la aceasta postare.

Stiam ca degeaba iti repet, dar totusi am simtit nevoia sa o fac.

Si pe a 4-a variantă ai lăsat-o cui? Este plin de matematicieni care știu sa rezolve doar după ce se uita la sfârșitul manualului sa vadă rezultatul.
Deci
4.Ai ales inițial prima capră, dar după ce ai schimbat ai rămas cu... a doua capră.
Continuam calculele după aceeași logică "există deci 4 posibilități diNtre care 2 sunt favorabile. probabilitatea este 2/4=1/2.’
Dar nu se termina aici. Si pe a 5-a variantă ai lăsat-o cui?
Deci:
5.Ai ales inițial a doua capră, dar după ce ai schimbat ai rămas cu... prima capră.
Continuam calculele după aceeași logică "există deci 5 posibilități diNtre care 2 sunt favorabile. probabilitatea este 2/5= 0,4
Dar nu-i gata, stai așa sa vezi varianta 6 doar că se poate numi 1B. Ai ales inițial mașina, dar după ce ai schimbat ai rămas cu... a doua capră.
M-ai calculez? Sau dau cpy/pst la varianta in care nu îți schimbi alegerea?
2/6 = 1/3
Concluzia este ca dacă schimbi sau ba, nu ai avantaje. Greșit! Stai jos.

"Stiam ca degeaba iti repet, dar totusi am simtit nevoia sa o fac."
Credeai ca îți merge? Mai bine alegeai o capră.

Nu inteleg de ce mi te adresezi mie, pentru ca eu nu ti-am prezentat niciun calcul. Totusi, din moment ce o usa in spatele careia se afla o capra a fost deschisa, a mai ramas o singura capra, asa ca mai taie din posibilitati.

Deci afirmi ca in varianta mea probabilitatile sunt altele?

Stai sa inteleg.


Problema Monty Hall se prezinta in felul urmator:

Trei usi: Doua capre (capra 1 si capra2) si o masina.
Alegi o usa.
Iti este deschisa o usa in spatele careia se afla o capra: Capra 1.


Problema mea se prezinta in felul urmator:

Trei cartonase. Doua cartonase ce nu sunt de culoare rosie (cartonasul albastru si cel galben) si unul rosu.
Alegi un carton.
Este intors cu fata un carton care nu este rosu: Cartonasul galben.


Nu am schimbat absolut nimic decat denumirile. Cum ar putea probabilitatile sa se modifice?



"Inlocuieste tu acolo caprele si masina"

Sigur, daca înlocuim demonstratia nu mai functioneaza. Asta pentru ca deja stim ca NU am ales cartonasul galben. Asa ca una din posibilitati pica. Deci ai spune ca raman doar doua variante posibile si una favorabila. Ar parea ca probabilitatea este 1/2.

Asta inseamna ca daca in problema Monty Hall numerotam caprele cu 1 si 2 probabilitatile se modifica?

,Trei usi: Doua capre (capra 1 si capra2) si o masina.
Alegi o usa.
Iti este deschisa o usa in spatele careia se afla o capra: Capra 1. '
Esti sigur ca asa se prezinta problema Monty Hall?
In cazul acesta care este logica acestui rationament:
' Daca iti schimbi alegerea exista trei varianta.
1. Ai ales initial masina, dar dupa ai schimbat ramanand cu o capra.
2.Ai ales initial prima capra, dar dupa ai schimbat si ai ramas cu masina.
3.Ai ales initial a doua captra, dar dupa ai schimbat si ai ramas cu masina.
Exista deci 3 posibilitati, ditre care 2 sunt favorabile. Probabilitatea este 2/3.'?
Punctul 2, in mod special.

Nu esti sigur de raspuns.
Cum se prezinta problema Monty Hall?
Te las pe tine sa o formulezi.
Daca numerotam caprele cu 1 si 2 probabilitatea se modifica?

Sa recapitulam putin. Tu ai postat o problema cu cartonase, despre care ai afirmat ca este problema Monty Hall, singura diferenta fiind ca ai inlocuit caprele si masina cu cartonase. Bazandu-te pe aceasta idee, ai tras concluzia ca rezultatele sunt aceleasi. Totusi, dupa ce ti-am sugerat sa inlocuiesti caprele si masina cu cartonase si in demonstratia valabila pentru problema Monty Hall, nu numai in enunt, de la "probabilitatea de a alege cartea roșie este de 2/3 dacă îți schimbi alegerea" ai ajuns la "ar parea ca probabilitatea este 1/2". De ce ai preferat exprimarea"ar parea" si nu "este" nu are neaparat mare relevanta, dar ar putea fi si acesta un aspect de discutat.
Acum vrei sa numerotezi caprele.Sa le numerotam si pastram si culorile de pe cartonasele tale.Nu e neaparat sa pastram culorile, daca vrei sa renunti la ele nu am nimic impotriva, dar lucrurile ar fi mai clare asa.
Avem "capra 1 albastra", "capra 2 galbena" si "masina rosie.
Da-mi un singur motiv pentru care te-ai intoarce acum de la "ar parea ca probabilitatea este 1/2" la "probabilitatea de a alege masina rosie este de 2/3 dacă îți schimbi alegerea". De preferat fara chestii de genul " din respect fata de capre" sau altceva de felul acesta.

"Da-mi un singur motiv pentru care te-ai intoarce acum de la "ar parea ca probabilitatea este 1/2" la "probabilitatea de a alege masina rosie este de 2/3 dacă îți schimbi alegerea"
Nu gasesc un motiv. Pare ca e 1/2. Dar tot cred ca probabilitatea ramane 2/3 ca in problema Monty Hall originala.

Sa inteleg ca tu mergi pe o probabilitate de 1/2 in cazul in care caprele sunt colorate diferi?

Nu faptul in sine ca sunt colorate diferit schimba probabilitatea. De exemplu poti sa stii ca in spatele celor 3 usi se afla o capra galbena, una albastra si o masina. Dupa ce faci alegerea initiala, ti se desemneaza una din usile ramase si ti se spune ca in spatele ei se afla sigur o capra.
In cazul acesta raman in continuare 3 posibilitati, pentru ca nu stii cu exactitate daca in spatele usii alese de tine se afla masina, capra galbena sau cea albastra, asa ca trebuie sa analizezi scenariile posibile pentru fiecare in parte.
In schimb, daca ti s-ar fi aratat una din usile ramase si ti s-ar fi spus ca in spatele ei se afla capra galbena sau ti s-ar fi deschis acea usa si ai fi vazut cu ochii tai acest lucru, lucrurile ar fi stat diferit, pentru ca acum stiai sigur ca in spatele usii alese de tine se afla fie masina, fie capra albastra.

Din cate inteleg afirmi ca:

Imediat dupa ce am facut alegerea, probabilitatea sa gasesc masina este intr-adevar 1/3. Fapt evident, sustinut si de demonstratia pe care am prezentat-o. Existe trei posibilitati: Masina, capra galbena sau capra albastra.

Dar in momentul in care prezentatorul a deschis una din celelalte usi si am aflat ca in spatele ei se afla o capra, o capra albastra sa presupunem, atunci probabilitatea ca eu sa nimeresc masina in spatele usii alese initial a crescut 1/2. Deoarece au mai ramas doar doua posibilitati: Masian sau capra galbena.


Practic afirmi ca probabilitatea e 1/3 atat timp cat toate usile sunt inchise, iar in momentul in care usa ce contine capra este deschisa probabilitatea devine 1/2. (Ma refer la probabilitatea de a gasi masina in spatele usi i alese initial.)
Corect? Asta e ce spui?

P.S.: Probabilitatile nu sunt influentate de culoarea caprelor. Dar faptul ca le-am colorat simplifica problema.

In momentul in care cel care a facut alegerea initiala poate sa faca o distinctie clara intre situatia nefavorabila revelata si cealalta inca ascunsa (galbena/albastra, cu clopot/fara clopot, cu doua coarne/ cu un corn rupt etc ), probabilitatea se schimba, pentru ca se reduce numarul scenariilor posibile.
El stie acum ca nu exista nicio posibilitate sa fi ales initial capra albastra, pentru ca tocmai i s-a aratat ca aceasta se afla in spatele altei usi, diferite de cea pe care a ales-o el. Ori a ales masina, ori capra galbena, deci 1/2.

De fapt probabilitatea ramane 1/3 chiar si in situatia in care prezentatorul deschide usa.
https://www.youtube.com/watch?v=4Lb-6rxZxx0
Vezi minutul 2:13. Probabilitatile raman 1/3 cu 2/3, nu 1/2 si 1/2.
In asta consta paradoxul problemei.

"el care a facut alegerea initiala poate sa faca o distinctie clara"
Caprele pot fi si identice.
Atat timp cat usa e deschisa se poate face o distinctie clara intre cele doua capre doar prin simplul fapt ca cele doua animale se afla in locuri diferite. In momentul in care usa a fost deschisa si vad ca acea capra e acolo deja stiu ca ea nu se mai poate afla in spatele altor usi. Deci numarul scenariilor deja s-a redus.
Cum arata capra e irelevant: Ca e albastra, roz, are clopotel, etc.

Daca ai un obiect in mana stanga si altul identic in mana dreapta presupun ca esti capabil sa iti dai seama ca obiectul din mana stanga nu e obiectul din mana dreapta. Asa si aici.


https://www.youtube.com/watch?v=kJzSzGbfc0k

Minutul 4:50

'Daca ai un obiect in mana stanga si altul identic in mana dreapta presupun ca esti capabil sa iti dai seama ca obiectul din mana stanga nu e obiectul din mana dreapta.'
Sa inteleg ca informatiile gasite pe YouTube au fost suficiente incat sa te determine sa treci rapid de la 'nu gasesc un motiv. Pare ca e 1/2. Dar tot cred ca probabilitatea ramane 2/3 ' la combinatia caracteristica de ironie, sarcasm si infatuare?

Ideea e ca probabilitatea ramane 1/3 desi, aparent, ar fi 1/2. Doua sanse posibil si doar una favorabila. Numai ca cele doua sanse posibile nu sunt echiprobabile.


Daca probabilitatea sa castigi masina ar fi 1/3 (atunci cand sunt toate usile inchise), dar de fiecare data ar creste la 1/2 (cand prezentatorul deschide una dintre usi), atunci ce sens mai are sa spui ca probabilitatea de a castiga masina e 1/3?




Explicatia mea pentru care probabilitatea nu se modifica atunci cand prezentatorul deschide usa este ca informatia pe care el ne-o furnizeaza prin deschiderea acelei usi NU este noua. Tu deja stiai ca intr-una din cele doua usi trebuie sa se afle o capra.
Daca ai usile A, B si C. Ai ales usa A. Deja stii ca in spatele usii B sau C trebuie sa fie cel putin o capra.


Spre exemplu daca prezentatorul deschide usa si in spatele ei se afla masina atunci aceasta informatie este intr-adevar noua si modifica sansele, reducand probabilitatea de a castiga masina la zero.

Nu se specifica nicaieri in problema cu bulina galbena, albastra si rosie, respectiv varianta adaptata la capre (capra galbena, capra albastra si masina rosie) ca in cazul in care alegerea initiala este castigatoare ni se va revela la intamplare una din variantele necastigatoare (bulina/capra albastra sau bulina/capra galbena), iar in cazul in care alegerea initiala este necastigatoare ni se va arata cealalta varianta necastigatoare.
Nu avem niciun motiv sa nu luam in considerare, de exemplu, ca in cazul in care am alege bulina/masina rosie ni s-ar arata de fiecare data bulina/capra albastra, daca am alege bulina/capra galbena ni s-ar arata unde este bulina/capra albastra, iar daca am alege bulina/capra albastra nu ni s-ar arata nimic (cel mult, dupa caz, un album cu colectia de buline decupate la gradinita sau niste poze tot de pe vremea aceea cu prezentatorul alaturi de caprele bunicilor intr-o vacanta de vara) si in fiecare din cele trei cazuri am fi intrebati daca ne pastram optiunea initiala sau nu.
In aceasta situatie probabilitatea ar fi de 1/2 in cazul in care dupa ce am ales ni s-ar arata unde este capra albastra si nu vad niciun motiv pentru care ar trebui sa favorizam scenariul aplicat in ilustrarea paradoxului in defavoarea scenariului prezentat de mine, din moment ce in problema prezentata de tine, respectiv varianta problemei prezentate de tine si adaptata la capre, nu se face nicio precizare in legatura cu aceste aspecte.

Nu inteleg de ce te reintorci la problema mea cand discutia a fost pana acum despre problema Monty Hall.

"Nu se specifica nicaieri in problema [...]ca in cazul in care alegerea initiala este castigatoare ni se va revela la intamplare una din variantele necastigatoare, iar in cazul in care alegerea initiala este necastigatoare ni se va arata cealalta varianta necastigatoare."


Pai cum nu se specifica din moment ce am scris ca: "Se intoarce cu fata in sus un alt bilet, avand culoare galbena." adica necastigator.
Nu numai ca am precizat ca se arata o varianta necastigatoare, dar am si specificat care e ea: biletul galben.

"Nu avem niciun motiv sa nu luam in considerare, de exemplu, ca in cazul in care am alege bulina/masina rosie ni s-ar arata de fiecare data bulina/capra albastra"

Asta asa e, din problema mea nu reiese. Insa nu vad de ce ar avea relevanta asupra probabilitatii. Faza e ca nu ai niciun motiv sa presupui ca ar mai exista si alte incercari diferite de asta. Insa e irelevant.

Emisiunea cu Monty Hall ar putea avea un singur episod si probabilitatile tot asa ar ramane. Asa e si in problema mea, doar o singura incercare.


"In aceasta situatie probabilitatea ar fi de 1/2 in cazul in care dupa ce am ales ni s-ar arata unde este capra albastra"
Si atunci in ce caz e 1/3, ca tot nu inteleg. Daca ni se arata capra galbena e 1/3?


Hai sa reformulam problema ca sa nu ne mai pierdem in atatea cuvinte inutile.


Trei usi. O masina, o capra albastra si o capra galbena.

Alegi o usa. Iti este deschisa o usa ce contine o capra galbena.

Care e probabilitatea sa alegi masina daca iti pastrezi decizia initiala?

Daca folosirea acelui emoticon reprezinta o modalitate de a iti exprima dezacordul cu privire la corectitudinea procentului de 1/2 in cazul prezentat de mine, m-ar interesa ce procent ar fi corect din punctul tau de vedere si cum ai ajuns la acel rezultat.
Referitor la intrebarea finala, raspunsul final este: depinde, din moment ce nu se precizeaza in mod clar dupa ce criteriu a fost deshisa usa ce contine o capra galbena si care sunt intentiile celui care a facut acest lucru. Poate fi 1/2 sau 2/3, dar la fel de bine poate fi 0 sau 1.

" depinde, din moment ce nu se precizeaza in mod clar dupa ce criteriu a fost deshisa usa ce contine o capra galbena si care sunt intentiile celui care a facut acest lucru. Poate fi 1/2 sau 2/3, dar la fel de bine poate fi 0 sau 1. "


Ti-am prezentat un scenariu. Din punctul meu de vedere probabilita ar trebui sa fie independentea de motivul pentru care usa s-a deschis. Tot ce ar trebui sa conteze este ca usa s-a deschis si in spatele ei se afla o capra. Ca a deschis-o vantul sau ca a fost deschisa de un prezentator ar trebui sa fie irelevant.



Ideea asta, ca:
Daca prezentatorul a deschis usa cu intentia de a arata capra probabilitatea e 1/3.
Daca prezentatorul a deschis usa pur intamplator, iar faptul ca in spatele ei era o capra a fost doar o intamplare, probabilitatea devine 1/2.

Ideea asta pare foarte gresita.

Desi in opinia ta ideea respectiva pare foarte gresita, in realitate doar prima afirmatie este eronata (eu oricum nu am spus asa ceva), dar si aceasta poate fi corectata usor inlocuind 'e' cu 'poate fi'.
A doa afirmatie e perfecta, nu e nimic de corectat la ea, pentru ca in acel caz probabilitatea devine 1/2.