Se ne imaginam ca avem un cerc cu raza 1. Circumferinta/Perimetrul lui va fi 2*PI*R, adica 2*PI.
Daca reprezentam raza cercului pe o axa verticala, iar pe o axa orizontala distanta 2*PI, atunci perimetrul...? (mai mult)

Question

Se ne imaginam ca avem un cerc cu raza 1.  Circumferinta/Perimetrul lui va fi 2*PI*R, adica 2*PI.
Daca reprezentam raza cercului pe o axa verticala, iar pe o axa orizontala distanta 2*PI, atunci perimetrul ar fi echivalent cu aria dreptunghiului ce are inaltimea 1 si lungimea 2*Pi

Acum sa ne imaginam ca jumatate din cerc are raza 1,  iar cealalta jumatate are raza 2.  
Perimetrul figurii va fi format din circumferinta a doua jumatati de cerc. Prima jumatate va avea perimetrul PI, iar cea de a doua va avea perimetrl 2PI. Perimetrul total va fi PI+2Pi=3PI
Observam ca acelasi calcul se pastreaza si daca adoptam reprezentarea grafica anterioara. Perimetrul total va fi aria a doua dreptunghiuri: primul are inaltimea 1 si lungimea PI, iar cel de al doilea are inaltimea 2 si lungimea tot PI.

Putem sa impartim cercul in 3 zone egale. O traime din cerc va avea raza 1,  o treime va avea raza 1.5 si o alte treime va avea raza 2.  Calculul perimetrului va fi similar, iar reprezentarea grafica va consta in insumarea ariei a 3 dreptunghiuri, avand inaltimile 1; 1,  5 si respectiv 2,  iar lungimile fiind toate egale cu 2PI/3. 

Daca impartim cercul in 4 zone vom avea 4 dreptunghiuri cu inaltimile 1; 1,  25; 1,5 si 2,  iar lungimile vor fi toate egale cu 2PI/4



Sa presupunem pastram logica anterioara si impartim cercul intr-un numar infinit de zone. In

Se obtine o spirala ce porneste de la o distanta 1 fata de origine (raza initiala a cercului) si se termina la o distanta 2 fata de origine (raza finala a cercului). 
Este mai dificil sa calculam perimetrul acestei figuri. E greu sa aduni un numar infinit de elemente care sunt toate egale cu zero. 
Dar, presupunand ca interpretarea geometrica evidentiata anterior se pastreaza si in acest caz, putem afla valoarea destul de simplu. 
Ar fi aria unui trapez cu baza mare 2,  baza mica 1 si inaltimea 2Pi. 
Deci perimetrul este 3*PI, aproximativ 9.424...
Numai ca ChatGPT imi spune ca raspunsul corect ar fi 9.478. 
Si pare ca are dreptate.
Unde am gresit?

sabin89 · Answer

Acum, ce mi-e 9,     424,    ce mi-e 9,     478:)
Greșești că apelezi la ChatGPT. Eu mai multă încredere am în calculul meu decât în al lor.
Cred că ai vrut să zici aria este 3*PI, nu perimetrul.

Inferno · Answer

Este aria acelui trapez si simultan (daca analogia se pastreaza) este si perimetrul/lungimea spiralei. Raspunsul corect este 9.478.  Unde am gresit?

sabin89 · Answer

"Daca impartim cercul in 4 zone vom avea 4 dreptunghiuri cu inaltimile 1; 1,     25; 1,     5 si 2".
De ce "1; 1,25; 1,5; și 2" și nu "1; 1,25; 1,5; și  1,     75"?

Inferno · Answer

Eu initial am desenat pe foaia de hartie o asemenea spirala (spirala arhimedica am inteles ulterior ca se numeste) ce porneste de la raza egala cu 1,               face o rotatie completa si se incheie la raza egala cu 2.            Raza crescand in mod liniar. 
1 si 2 pareau valori suficient de simple pentru a facilita rezolvarea problemei. 

De asta, discretizarea se face pe intervalul [1; 2]. 
Daca ar fi sa alegi trei valori echidistante aflate in intervalul [1; 2] ar fi: 1; 1,        5 si 2.    
Daca ar fi sa alegi patru valori echidistante ar trebui sa alegi 1; 1,    (3); 1,    (6) si 2.     Am calculat gresit anterior. Buna observatie.

sabin89 · Answer

Lasă, că vine TOT, nepotu' și îi dă de cap:) Știi cum a zis Dănilă Prepeleac când a fost provocat să se ia la întrecere la fugă.
Lăsând gluma, mă mai gândesc și eu.

Inferno · Answer

Ideea de baza este urmatoarea: Te-ai gandi ca daca repeti de un numar infinit de ori discretizarea pe care am descris-o in intrebare ajungi in final la o spirala.  
Intuitia mea asta imi spune, nu stiu tu ce parere ai. 

Etapa 1:  Ai un cerc cu raza 1.     
Etapa 2: Jumatate de cerc are raza 1 si jumatate are raza 2.    
Etapa 3: O treime de cerc are raza 1,     o treime are raza 1,     5 si o treime are raza 2.    
Etapa 4: O patrime de cerc are raza 1,     o patrime are raza 1,     333,    o patrime are raza 1,     666 si o alta patrime are raza 2.     

Cand numarul etapelor tinde la infinit pare ca obtinem o spirala. 
Dar nu obtinem. 


Desi aplicam un numar infinit de etape, nu este suficient pentru ca natura discreta a fiecarui punct sa "umple" in intregime continumul unei spiralei. Asta cred cel putin. O spirala e continua, forma descrisa de mine e discontinua. Desi ambele au un numar infinit de puncte intre cele doua capete.  Din nou, presupunerea mea. 

Asta imi aminteste de acel paradox al scarii. 
https://www.youtube.com/watch?v=LWPOlZBXtD8

sabin89 · Answer

Cum or fi ajuns ăia la 9,      478?
Tare paradoxul scării! Chiar m-a derutat. Nu-l știam. Trebuie revizuită teorema lui Pitagora?