Se spune ca Newton, ca tanar student, a inceput sa invete geometria, cum se obisnuia pe atunci, citind Elementele lui Euclid. Citea teoremele, isi dadea seama ca sunt adevarate si sarea peste demonstratii. Se intreba pentru ce isi mai dau oamenii osteneala sa demonstreze lucruri atat de evidente. Dupa multi ani, el si-a schimbat insa parerea si l-a laudat pe Euclid.
Ce parere aveti voi? Este bine ca se invata la scoala si demonstratiile? Ati vazut ca orice teorema este insotita de o demonstratie. De ce? Nu e de ajuns sa stim, de exemplu, ca suma unghiurilor unui triunghi este 180 de grade? Trebuie sa mai stim si de ce?
Ordonare:
După relevanţă
Foarte dramatica este problema rigurozitatii in invatamant. Un curs, in care rigurozitatea este exagerata, are darul de a face materia arida,de a pune accentul pe un fenomen totusi secundar si de a nu favoriza intelegerea si gandirea intuitiva a studentilor. Extrema cealalta, un curs fara demonstratii si,in special,fara definitii riguroase educa pe studenti in ideea ca asa este matematica, demonstratiile riguroase nu sunt necesare, matematica este prin natura ei, o stiinta confuza. In special,lipsa definitiilor precise poate duce la dificultati de intelegere. Din fericire studentii sunt confruntaticu cursuri de cele mai diferite tipuri, asa ca daunele se mentin in anumite limite tolerabile. In orice caz,exagerarile intr-o directie sau alta, sunt nocive. Aici se aplica un vechi proverb arab: "Dumnezeu nu iubeste pe cei ce exacereaza."
Imi permit sa relatez aici o traire dramatica pe care am avut-o ca student,cu ocazia unei conferinte tinuta de Gheorge Calbura in cadrul seminar al cursului Geometrie,predat de Gheorghe Vranceanu. Scopul conferintei era de a verifica o noua demonstratie a teoremei lui Gauss-Bonnet, descoperita de Galbura. Era vorba de o schimbare de variabila intr-o integrala pe o varietate, iar Galbura nu era sigur daca aceasta schimbare de variabila este permisa. In sala s-a asternut o tacere adanca care, pentru mine, a durat o vesnicie, in care am transpirat sange. Imi dadeam seama ca pot gandi un veac intreg la aceasta intrebare, fara sa am cea mai mica sansa de a o rezolva, si asta pentru simplul motiv ca nu conosteam definitia varietatilor si a integralelor pe aceste varietati." Gazeta Matematica.
RăspundeFiindca ai adus vorba de integrala, as deschide o mica paranteza. Stiu cum se ajunge la notiunea de derivata. Se deseneaza o curba (grafic). Printr-un punct A se duce o secanta care mai taie curba inca intr-un punct B. Se observa apoi unghiul format de secanta asta cu orizontala. Se reconsidera apoi acest unghi in cazul cand B se aproapie de A si cazul limita cand B se suprapune peste A. Simplu si logic. Nu mai stiu insa cum se ajunge la notiunea de integrala (tot simplu si logic). Poate ma lamureste cineva. Sa nu-mi spuna "pai e operatiunea inversa derivatei", ca asta e ceva doar abstract, o simpla notiune. As vrea tot asa, ceva cu grafic si cu demonstratie, ca in cazul derivatei.
Răspunde
Daca ai inteles Sumele Riemann, atunci ai inteles si integrala definita, deoarece integrala de la a la b din f(x) nu reprezinta decat limita unei astfel de sume, a carei norma tinde la zero.
Cat despre integrala nedefinita, pai integrala nedefinita este ceea ce este chiar prin definitie, integrala e o notatie, reprezinta multimea tuturor primitivelor, iar F este primitiva a lui f, numai si numai daca (prin DEFINITIE) F(x)'=f(x) si F derivabila (pe un interval).
"...ca asta e ceva doar abstract..." Nu este ceva abstract,este chiar definitia.
De unde credinta eronata ca,daca pentru a defini derivata,am avut nevoie de un grafic, atunci si pentru a defini integrala, care, dupa cum ai spus si tu, este inversa acesteia, avem nevoie tot de grafice si desene?
Nu ai cum sa demonstrezi o definitie.
Daca A e definit ca BC, atunci A e definit ca BC. De ce e asta? Pentru ca asa l-am definit eu, doar nu incercam sa demonstram definitia.
Integrala este aria de sub curba, deci ceva concret, nu doar o definitie.
Care integrala mai, ca sunt doua. Integrala nedefinita nu stiu sa fie aria a ceva.
Tu vorbesti de integrala definita si acolo interpretarea grafica este cu Sume Riemann.
Limita unei asemenea sume este egala cu integrala de la a la b.
Banuiesc ca stii ce sunt sumele Riemann si consti interpretarea grafica a lor, nu?
Te-am inteles acum. Am revazut sumele Riemann. Multumesc, Inferno.
In genere cand se studiaza integralele,fie ca le studiezi la liceu,fie ca le recapitulezi la facultate, se incepe fie cu integrala nedefinita, fie cu integral definita, dar cu integrala Riemann, pentru ca exista mai multe integrale definite, dintre care Riemann se studiaza in liceu si in principiu si in facultate. Si pentru a intelege integrala Riemann, mai exista un capitol numit Sumele Riemann.
Apropo, esti la liceu, facultate? Esti autodidact?
Am gasit foarte bine explicata teorema asta. Cred ca cu ea trebuie inceput pentru intelegerea legaturii dintre cele doua (derivata & integrala). Imi place cum explica, un adevarat talent pedagogic! chttp://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus
Sa Zicem Ca Spui Cuiva Ca Suma Masurilor Unghiurilor Unui Triunghi Este De 180 De Grade(In Cazul In Care Aceasta Persoana Nu Stie Cum Se Demonstreaza El Te Va Intreba Cum Ai Ajuns La Aceasta "Concluzie") Tu Ce Ii Vei Spune? Ca Asa A Spus Domnul Profesor Sau Doamna Profesoara?
Sper Ca Esti Lamurit 
Poate ca in viata te vei mai intalni vreodata cu nevoia de a sti ca suma unghiurilor unui triunghi este 180 de grade, dar te asigur ca niciodata nu vei mai avea nevoie si de demonstratia acestei "propozitii".
Este bine sa se prezinte si ideea demonstratiei. Nu neaparat sa se ceara invatata pe dinafara, ci doar inteleasa. Pentru ca prin prezentarea explicatiilor, poti justifica de ce suma aia nu e 270 de grade... sau poti analiza care dintre axiomele geometriei euclidiene trebuie contrazisa ca sa se poata ajunge la alte sume.
Sa dau un exemplu mai apropiat de ideea de la care am plecat. Doua unghiuri sunt situate in plane diferite, dar laturile lor sunt paralele doua cate doua si orientate in acelasi sens. Mai trebuie demonstrata teorema asta? nu este destul de evidenta? Ce zici?
Sorry, am uitat sa mentionez "sunt egale". Deci, mai trebuie demonstrata egalitatea lor? Asta am vrut sa zic.
Chiar si in situatii evidente ca aceasta, trebuie macar mentionata ideea demonstratiei. Daca e timp, poate fi si prezentata, pentru ca din perspectiva mea rigurozitatea unui rationament complet ajuta la dezvoltarea unei gandiri corecte dpdv matematic. Mai ales ca nu toate situatiile "evidente" dpdv intuitiv sunt simple ( un exemplu nu foarte adecvat, dar suficient de exemplificativ: http://ro.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%80%A6 ).
De fapt, daca tot am ajuns la subiectul capacitatii de a rationa matematic, mie mi se pare mai bine sa se ceara demonstrate situatii atat de simple ca aceasta pe care a-i dat-o exemplu, decat o teorema de integrare prin parti sau altele de nivel universitar.;)
Sunt de accord cu ce ai scris la urma (ultimele cinci randuri). Nu stiu cum i-a dat lui ala (-1/12). Nu are cum, sa aduni 1+2+3. si sa obtii (-1/12), poate doar sa fie vreun truc, sau sa fie vorba de numere complexe, ceva. Cand o sa am timp o sa ma uit sa vad cum e cu functia aia zeta Riemann.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
