Stand eu culcat sapte zile pe coasta stanga, mi- a venit o idee, o problema care are a face cu acele unui cesornic. Si pentru ca sunt implicate si niste calcule matematice, o postez si eu aici, matematica...? (mai mult)

Question

Stand eu culcat sapte zile  pe coasta stanga, mi-a venit o idee, o problema care are a face cu acele unui cesornic. Si pentru ca sunt implicate si niste calcule matematice, o postez si eu aici, matematica fiind o stiinta. Deci...
Sa luam pozita acelor de ceasornic la ora 12.   Daca in aceasta pozitie orarul si minutarul si-ar fi schimbat reciproc pozitiile, ar indica totusi ora exacta. In alte momente, de exemplu la ora 6,   schimbarea reciproca a pozitiei aratatoarelor ar duce la o situatie absurda, inadmisibila la un ceas care merge normal: minutarul nu poate sa arate 6,   atunci cand orarul indica 12.  
Apare intrebarea: cand si cat de des acele unui ceasornic ocupa o astfel de pozitie, incat inlocuind un ac prin celalalt obtinem o solutie noua, posibila pentru un ceasornic care merge normal?
Pareri?

sabin89 · Answer

Problema nu se poate rezolva fara putina algebra. Dar e vorba de ecuatii simple, de gradul 1.     
In una din pozitiile cerute, acul orar s-a deplasat de la ora 12 cu x diviziuni, iar minutarul cu y diviziuni. Se tine seama de faptul ca orarul se deplaseaza cu 5 diviziuni pe ora, iar minutarul cu 60 de diviziuni pe ora (o diviziune pe minut). In exemplul pe care l-am dat mai sus, am limitat numarul care indica minutele la doua zecimale, fiind suficiente. Valorile exacte ar fi: ora 5 si 42,     377622...    minute si respectiv 8 si 28,     531468 minute.
Sunt multe solutii; cum am spus, peste o suta. Ora 2 si 15,     9440 minute si respectiv 3 si 11,     3286 ar mai putea fi una din aceste solutii.

J0B0MAT · Answer

Care era raspunsul la intrebarea cu 2222? Ca sunt curioasa si cred ca ai sters intebarea sau ti-a fost stearsa.Trimite-mi si mie mesaj, please :D;;)

sabin89 · Answer

Raspunsul tau a fost bun. Nu stiam ca a fost stearsa intrebarea; nu eu am sters-o.
Sa revenim la acele ceasornicului. :)

J0B0MAT · Answer

Yeeey :D.La asta nu stiu:(

OoBunnyoO · Answer

288 pe zi, asumanand ca avem un orar care sare exact la fiecare ora. 

Daca avem un orar care se misca in acelasi timp cu minutarul, se va intampla doar de doua ori pe zi, pentru ca orarul isi schimba constant pozitia.

sabin89 · Answer

...care sare? Orarul nu sare, merge uniform. :) "Daca avem un orar care se misca in acelasi timp cu minutarul" Se misca in acelasi timp, numai ca cu viteze diferite, ca orice ceas normal. Care sunt cele "de doua ori pe zi"? Te referi la 12 ziua si 12 noaptea?

OoBunnyoO · Answer

Cand spuneam ca sare, ma refeream la mecanismele ceasului. Sunt unele ceasuri in care orarul nu se misca constant ca si minutarul. Minutarul se misca constant, dar orarul sta pe loc si sare numai la ora fixa. Cand minutarul ajunge la 12 orarul sare fix pe ora unu, de exemplu si nu se misca deloc o ora intreaga. Apoi cand se face ora doua, orarul sare imediat pe ora doua s.a. Cred ca este un tip de ceasuri mai vechi, bunica-mea avea un ceas de genul asta. Nu stiu ce tip de mecanism este sau daca are un nume, oricum cred ca sunt destul de rare ca nu le-am vazut prea des. Dar, in cazul asta ar fi 288 de ori pe zi. 
Dar daca ei un ceas banal in care minutarul merge in acelasi timp cu orarul, cand orarul va fi la ora 2 si minutarul la 12 este ok, dar daca vei schimba acele si pui minutarul exact la ora 2,      orarul nu va fi niciodata la ora 12,      ci va fi la 1 minut, deci nu vor fi exact in acelasi loc ca prima data, pentru ca in momentul in care pui minutarul pe ora 1,      orarul nu va fi pe ora 12.      De fiecare daca cand minutarul se misca si orarul se misca o saizecime dintr-o ora, ceea ce face imposibil sa le schimbi intre ele si totusi sa pastrezi pozitia lor exacta.

sabin89 · Answer

Cum ai ajuns la acel 288? :-/

OoBunnyoO · Answer

Am inmultit 12 (numarul de posibilitati pe care ar sta orarul) cu 12 (numarul de posibilitati pe care ar sta minutarul) si ar fi 144.       Avand in vedere ca asta se intampla de doua ori pe zi am inmultit cu 2 si atunci vine 288.       Iar aici ar fi posibil sa le schimbi intre ele pentru ca cele doua ar fi intotdeauna pe aceeasi pozitie la ora fixa, avand in vedere ca orarul nu se misca constant si doar sare de la ora la ora.

sabin89 · Answer

Inteleg cum zici. :) Mi se pare ciudat, pentru ca eu nu am vazut niciodata un ceas din ala, in care orarul sare, dupa cum zici, din ora in ora; si nici nu am auzit sa existe. Dar te cred, or fi printre exponatele mai vechi.
Revenind la problema (excludem varianta cu ceasornicul cel vechi), ma tem ca nu ai inteles ce se cere in enunt. Am sa revad si eu ce am scris, poate nu am fost suficient de clar. Exista pozitii, si inca multe (peste o suta sigur) care sa satisfaca conditiile din problema. Deocamdata, iti voi da doar doua exemple: Cand ceasul arata ora 1: 5 minute si 45 de sutimi de minut, acele se suprapun. Se intelege ca ele isi pot schimba pozitiile reciproc.
Al doilea exemplu: Cand este ora 8 si 28,     53 de minute. Daca in pozitia asta inlocuim un ac prin celalalt, obtinem ora 5 si 42,     38 de minute; o solutie noua, posibila pentru un ceas care merge normal.
Acum, daca ma intrebi cum am aflat valorile astea, am sa pot sa spun, dar inca nu e momentul. :)

OoBunnyoO · Answer

Pozitiile nu sunt exact egale (exceptand ora 12). Vizibil vorbind par a fi, dar de fapt nu sunt. Daca luam in considerare faptul ca orarul se misca intotdeauna odata cu minutarul, inseamna ca intr-o ora orarul se misca de 60 de ori, in timp ce minutarul se misca tot de 60 de ori. Intr-o ora, minutarul se misca o cincime dintr-o ora, in timp ce orarul se misca o saizecime dintr-o ora. Se misca in acelasi timp, doar ca minutarul face pasi mai mari. Avand in vedere ca sunt 60 de pozitii pe o ora, inmultite cu 12 (caci dupa 12 rotatii incep sa se repete), inseamna ca sunt 720 de pozitii pe care minutarul le poate ocupa, la fel ca si orarul pe 12 ore. Insa, avand in vedere ca exista o diferenta dintre masura "pasilor" acelor nu au cum sa fie pe aceeasi pozitie. La ora 8.28 orarul se va afla in pozitia 508 iar minutarul in pozitia 336,     iar la ora 5.42 orarul se afla in pozitia 342 si minutarul in pozitia 504.     Sunt foarte aproape, dar pozitia nu este aceeasi. Este o diferenta care cu ochiul liber nu este vizibila intr-un ceas normal, poate doar daca ne uitam la un ceas urias, banuesc ca atunci ar fi observabila.