Un altul, de data asta inventat de mine. Eu l- am inventat, eu nu reusesc să- l rezolv. :) Deci, imaginaţi- vă cadranul unui ceas; normal, cifra 6 jos, 12 sus. Orarul este undeva între 8 si 9,...? (mai mult)

Question

Un altul, de data asta inventat de mine. Eu l-am inventat, eu nu reusesc să-l rezolv. :) Deci, imaginaţi-vă cadranul unui ceas; normal, cifra 6 jos, 12 sus. Orarul este undeva între 8 si 9,  iar minutarul între 3 si 4,  dar nu oricum, ci limbile formând unghiuri egale cu verticala (axa 6-12). Deci este ora 8 si aproape 20.  Se poate sti în mod exact cât este? Adică fără "aproape", ci exact 8 si câte minute si câte secunde. Dacă da, cum?

TristanTzara · Accepted Answer

Am făcut o greșală în penultimul paragraf al răspunsului meu. E posibil să fie cele două limbi în același loc, altul decât mijlocul.

Dacă iei x ca fiind unghiul superior format de minutar cu verticala. Iar y sa fie unghiul inferior format de orar cu 8.Ai relațile:

x/360°=y/30° sau y=x/12
x+y=120° (pentru că limbile formează același unghi cu verticala)

13x=1440°sau x=(110+76923/999999)°

daca trecem gradele în minute împărțim la 360° și înmulțim cu 60 min. Adică înmulțim cu 1/6 grade/min. Deci în minute x=18+46153/99999. 46153/99999 în secunde e 27+692307/999999

Așadar condițile sunt respectate la ora 8 min 18 și sec 27,      692307692307...    

Te rog să scuzi răspunsul eronat de mai de vreme!

TristanTzara · Answer

Ar fi trebuit să-mi dau seama că greșisem fiindcă existența unui asemenea puncr e implicată de Teorema Borsuk-Ulam.

x+y=120° e pentru că x e și unghiul superior format de de orar cu verticala, iar suma lor e ungiul dintre 8 și 12,     care e 120°. În caz că nu ai înțeles.

În orice caz, o problemă frumoasă!

sabin89 · Answer

Mulţumesc tuturor pentru implicare. La prima vedere problema pare usoară, dar numai la prima vedere. Odată am încercat să calculez, tot asa cu precizie maximă, la 8 si cât limbile sunt în prelungire; sau la 8 si cât se suprapun. Am reusit, dar nu fără efort.
Felicitări celor doi (Soledad si 99yuki)! Am urmărit raţionamentele. Fără greseală.

Catrice · Answer

Nu ești bun inventator

sabin89 · Answer

Tot la tine îmi e speranţa pentru un răspuns, cu maximum de precizie. Tu întotdeauna ai stiut la cât e ceasul :) 
Tocmai am primit un răspuns acum 8:17:40 si mă munceam să văd dacă e corect.

Catrice · Answer

Nu îmi plac ceasurile, mereu rămân în urma :))
Ora: 53 și 273 minute

LPCTSTR · Answer

Mie-mi suna foaaare mult a tema pentru acasa, nu crezi?

sabin89 · Answer

Chiar mă mir. Mă stii de atâta timp si încă suspectezi că am teme de făcut. :)

laSoledad · Answer

Ceasul e privit ca un cerc pe care sunt evidentiate 12 puncte principale la egala distanta unul de altul. Secundarul se invarte de 60 de ori pe ceas, ceea ce inseamna ca trece prin 60 de puncte la egala distanta unul de altul. El trece prin 12 puncte principale (orele). Iar 60 -12 = 48 de puncte prin care trece intermediar. Astea sunt punctele prin care trece secundarul intre cele 12 ore marcate pe ceas. 48 impartit la 12 este 4.  Ceea ce ne permite sa trasam cate 4 puncte intre fiecare ora in parte. Unele ceasuri chiar au marcat tot cercul cu puncte, pentru a arata mersul secundarului prin fiecare din cele 60 de puncte. Astfel, devine o problema de geometrie. In cerc sunt marcate 60 de puncte la egala distanta. Cand muti limba orarului, se muta automat si limba minutarului. Iar pe masura ce muti limbile catre ora 8,    astfel incat sa se formeze unghiuri egale fata de axa 6-12, atunci limba minutarului iti va arata pe cerc minutul exact, daca te uiti pe cerc la cate puncte distanta se afla minutarul fata de cifra 3.    E ca pe un liniar. Observi punctele intermediare dintre ore, ca sa obtii minutul exact. Mai poti desena, aditional, inca 4 puncte intermediare intre fiecare punct intermediar pentru a fi mai precis si apoi le numeri. Punctele intermediare dintre ore reprezinta minutele, iar punctele intermediare dintre minute reprezinta secundele.

sabin89 · Answer

Da, e interesant ce spui. Ceasul de care zic are doar orar si minutar (nu si secundar). Ok., deci cât e ceasul? 8 si cât?

laSoledad · Answer

Am gasit raspunsul corect. E 8:18. Iti scriu acum argumentarea.

laSoledad · Answer

Exista ceasuri de-alea de birou, care au marcate toate cele 60 de puncte din cerc. Eu am un astfel de ceas si observ acum raspunsul. Deci, pe cerc sunt 12 puncte principale reprezentand ora si cate 4 puncte intermediare intre fiecare ora in parte, ceea ce inseamna ca sunt 48 de puncte intermediare. Intre punctul principal care indica ora 8 si punctul principal care indica ora 9 sunt 4 puncte intermediare. Cu ceasul in mana, am mutat ora la 8:00 si se observa ca limba orarului e indreptata fix catre punctul 8.      Pe masura ce misc limba minutarului la 8:12, limba orarului se departeaza de punctul 8,      catre primul punct intermediar. Dupa alte 12 minute, adica la ora 8:24, limba orarului se muta la al doilea punct intermediar dupa punctul 8.      Dupa alte 12 minute, la ora 8:36, limba orarului se misca la al treilea punct intermediar dupa ora 8.      Dupa alte 12 minute, la ora 8:48, limba orarului se misca la al patrulea punct intermediar. Dupa alte 12 minute, la ora 9:00, limba orarului se misca la punctul principal 9.      Si s-a incheiat drumul. Din acest drum, reiese ca la tot 12 minute limba orarului se tot misca dintr-un punct intermediar intr-altul. Asta o putem scrie asa: 
La ora 8:00 - limba orarului e indreptata catre Punctul Principal 8.      
In intervalul 8:00 - 8:12, limba orarului e catre Pct Intermediar 1,      
In intervalul 8:12 - 8:24, limba orarului e catre Pct Intermediar 2
In intervalul 8:24 - 8:36, limba orarului e catre Pct Intermediar 3
In intervalul 8:36 - 8:48, limba orarului e catre Pct Intermediar 4
La ora 9:00 - limba orarului e indreptata catre Punctul Principal 9.      
Se observa ca punctele de pe ceas corespunzatoare orei 8 si orei 4 formeaza 2 unghiuri egale fata de mediana, insa noi stim ca atunci cand e ora 8:20, limba orarului nu tinteste chiar catre ora 8,      ci e mai sus de ea. Pentru a vedea cat de departe e de ea, ne uitam in datele de mai sus pe care le-am concluzionat din observatiile practice cu ceasul in mana. Si vedem ca in intervalul 8:12 - 8:24, limba orarului bate catre Pct Intermediar 2.      Si cand ajunge la ora 8:24 ea atinge fix punctul intermediar 2 dupa ora 8.      Acum am gasit primul unghi necesar. Este cel format intre mediana si Punctul Intermediar 2 - e cel care indica ora. Acum, ca sa gasim si al doilea unghi, ne uitam in cadranul orar alaturat in dreapta pe ceas sa gasim punctul intermediar corespunzator celui pe care il avem deja si observam ca e al 3-lea punct intermediar dupa ora 3.      Si astfel, am gasit si al doilea unghi egal cu primul. Al 3-lea punct intermediar dupa ora 3 inseamna minutul 18.      Si astfel, reiese ora 8:18, unde limbile orarului si minutarului creeaza doua unghiuri egala fata de mediana. Tot ce trece de 8:18, respectiv de 8:24, va muta limba orarului mai sus de punctul intermediar 2 dupa ora 8 si nu se mai pot crea unghiuri egale. De asemenea, tot ce e inainte de 8:18 nu poate crea 2 unghiuri egale. Aici ai reprezentarea pe ceas: https://imgur.com/l3JxW8V

anonim_4396 · Answer

8:17:40

TristanTzara · Answer

Dacă x e unghiul superior dintre minutar și verticală, iar y unghiul inferior dintre orar și ora 8.     Atunci y/30°=x/360°, acest lucru e adevărat pentru orice ceas funcțional. Tot cercul e 360° iar îmtre 8 și 9 sunt 30°.

Acum cadranul dintre 8 și 9 e împărțit în 4 părți egale (8 e un minut iar 9 e 5 min, la 4 minute distanță). 

Din relația dintre x și y deducem că orarul e între al 2lea minut și al 3lea minut dintre 8 și 9.     Minutarul formează un unghi superior, care e cuprins între jumătate din cerc(6) și sfert de cerc(3). Deci și la fel e și cu orarul între 8 și 9,     2 sfert iar 3 jumătate.

Acum din moment ce unghiurile formate cu verticala, și minutarul trebuie să fie în același loc în funcție de ora 3.     Dar din moment ce acestea sunt în locuri opuse, minutarul și orarul trebuie să fie exact la mijloc între minutul 2 și 3 din cadranele lor ( cadranul 3-4 și 8-9).

Dar în cazul orarului, datorită relației dintre x și y implică că minutarul e la mijlocul sfertului inferior dreapta, adică între 4 și 5.     Asta e o contradicție.

Deci asta e: situația descrisă e imposibilă, sau ceasul e stricat :))

sabin89 · Answer

Stai, nu ai treabă cu unghiul dintre orar si 8.     Limbile sunt la distanţă egală de ora 6. Deci cele două unghiuri egale de care zic sunt descrise de fiecare limbă cu raza care uneste centrul ceasului cu punctul 6.

TristanTzara · Answer

Da, am înțeles, dar unghiul dintre orar și ora 8 e unghiul dintre orar și 6,     -60°. Iar întotdeuna orarul a parcurs la fel de mult din cadranul dintre două ore consecutive precum a parcurs minutarul din tot ceasul (y/360°=x/30°).

Cei drept am presupus că trecere orarului sau a minutarului de la un punct la altul e o transformare continuă și constantă, lucru care nu e neapărat adevărat. Dacă iei că  o limbă e mereu într-un punct de minut (o transpormare discontinuă) atunci 8:19 e răspunsul, din câte văd eu. Dar nu cunosc cum funcționează un ceas așa că n-am ce zice.

laSoledad · Answer

Raspunsul tau atat de alambicat exprimat suna ca "Pe la ora doua, doua si ceva, s-a produs o extorsiune a unui degajament al unei constructii de intr-o apa si dupa care, puteti uita... Deci asta e: situația descrisă e imposibilă". :))

TristanTzara · Answer

În geometrie și trigonometrie de obicei folosim și reprezentări grafice, lucru imposibil pe TPU.

Poate că explicația e greu de înțeles, dar din punct de vedere matematic e corectă.

Dacă nu-ți convine soluția, dă tu una mai bună!

TristanTzara · Answer

Citirea soluțiilor matematice nu e o lectură relaxantă, necesită implicare din partea cititorului, pentru a o înțelege.

laSoledad · Answer

Exista ceasuri de-alea de birou, care au marcate toate cele 60 de puncte din cerc. Eu am un astfel de ceas si observ acum raspunsul. Deci, pe cerc sunt 12 puncte principale reprezentand ora si cate 4 puncte intermediare intre fiecare ora in parte, ceea ce inseamna ca sunt 48 de puncte intermediare. Intre punctul principal care indica ora 8 si punctul principal care indica ora 9 sunt 4 puncte intermediare. Cu ceasul in mana, am mutat ora la 8:00 si se observa ca limba orarului e indreptata fix catre punctul 8.     Pe masura ce misc limba minutarului la 8:12, limba orarului se departeaza de punctul 8,     catre primul punct intermediar. Dupa alte 12 minute, adica la ora 8:24, limba orarului se muta la al doilea punct intermediar dupa punctul 8.     Dupa alte 12 minute, la ora 8:36, limba orarului se misca la al treilea punct intermediar dupa ora 8.     Dupa alte 12 minute, la ora 8:48, limba orarului se misca la al patrulea punct intermediar. Dupa alte 12 minute, la ora 9:00, limba orarului se misca la punctul principal 9.     Si s-a incheiat drumul. Din acest drum, reiese ca la tot 12 minute limba orarului se tot misca dintr-un punct intermediar intr-altul. Asta o putem scrie asa:
La ora 8:00 - limba orarului e indreptata catre Punctul Principal 8.    
In intervalul 8:00 - 8:12, limba orarului e catre Pct Intermediar 1,    
In intervalul 8:12 - 8:24, limba orarului e catre Pct Intermediar 2
In intervalul 8:24 - 8:36, limba orarului e catre Pct Intermediar 3
In intervalul 8:36 - 8:48, limba orarului e catre Pct Intermediar 4
La ora 9:00 - limba orarului e indreptata catre Punctul Principal 9.    
Se observa ca punctele de pe ceas corespunzatoare orei 8 si orei 4 formeaza 2 unghiuri egale fata de mediana, insa noi stim ca atunci cand e ora 8:20, limba orarului nu tinteste chiar catre ora 8,     ci e mai sus de ea. Pentru a vedea cat de departe e de ea, ne uitam in datele de mai sus pe care le-am concluzionat din observatiile practice cu ceasul in mana. Si vedem ca in intervalul 8:12 - 8:24, limba orarului bate catre Pct Intermediar 2.     Si cand ajunge la ora 8:24 ea atinge fix punctul intermediar 2 dupa ora 8.     Acum am gasit primul unghi necesar. Este cel format intre mediana si Punctul Intermediar 2 - e cel care indica ora. Acum, ca sa gasim si al doilea unghi, ne uitam in cadranul orar alaturat in dreapta pe ceas sa gasim punctul intermediar corespunzator celui pe care il avem deja si observam ca e al 3-lea punct intermediar dupa ora 3.     Si astfel, am gasit si al doilea unghi egal cu primul. Al 3-lea punct intermediar dupa ora 3 inseamna minutul 18.     Si astfel, reiese ora 8:18, unde limbile orarului si minutarului creeaza doua unghiuri egala fata de mediana. Tot ce trece de 8:18, respectiv de 8:24, va muta limba orarului mai sus de punctul intermediar 2 dupa ora 8 si nu se mai pot crea unghiuri egale. De asemenea, tot ce e inainte de 8:18 nu poate crea 2 unghiuri egale. Aici ai reprezentarea pe ceas: https://imgur.com/l3JxW8V

TristanTzara · Answer

Foarte frumoasă soluție intuitivă! 

Întradevăr dacă e să ne raportăm la oră și minute, răspunsul e 8:18. Am scris o soluție mai riguroasă care  are răspunsul 8:18:27 și ceva, sper că o poți vedea. 

Da, am greșit. Am presupus eronat că minutarul și orarul se schimbă cu aceeași viteză, lucru care e eronat. Mai exat greșala e în penultimul meu paragraf.

În oricecaz, felicitări!

sabin89 · Answer

"Ai relatia: x/360 = y/30"
Asa ai scris si sunt de acord că e adevărat, dar as fi curios să stiu cum ai dedus tu această relaţie.

TristanTzara · Answer

În intervalul de timp 8:00-9:00 orarul parcurge o doisprezecie din ceas, adică trece de la 8 la 9,     adică 30° (tot ceasul are 360° ca orice alt cerc iar 360°/12=30°). În cazul minutarului, el parcurge o rotație completă în jurul cercului, 360°.

Din câte am văzut eu, la ceasuri limbile se mișcă mereu (nu stă niciodată limba în loc) și constant (cu aceeași viteză), așa că la un moment dat orarul trebuie să fi parcura la fel de mult din 30° cât a parcurs minutarul din tot cercul (360°).

Dacă acest lucru nu e adevărat, orarul a parcurs un procent mai mic sau mai mare atunci, dacă limbile merg constant, orarul va fi depășit 9 când minutarul ajunge la 12.    

Deci orarul mereu a parcurs un procent din cel 30° (y/30°) egal cu procentul parcurs minutar din tot cercul (x/360°).

Relația asta e adevărată pentru orice ceas și orice oră dacă y e unghiul format cu ora de către orar. Iar x e unghiul format de minutar pornind de la 12 spre dreapta.

O relație similară e adevărată pentru secundar și minutar: z e unghiul dintre secundar și 12 spre dreapta, iar w e unghiul format de minutar și minut. Atunci z/360°=w/6°(sunt 60 de minute pe ceas), dar n-am să intru în detaliu.

Mogiojojo · Answer

Inainte sa ne dai noua intrebarea trebuia sa o rezolvi tu inainte.

DANNY1004 · Answer

Eu mai demult am inventat o masina a timpului, dar nu am reusit sa gasesc pe nimeni sa imi explice cum functioneaza si dupa un timp a aruncat-o din greseala bunica mea pentru ca a confundat-o cu o masina de spalat stricata (de fapt numai carcasa am folosit-o de la ea).