Un joc cu piesele de domino. Haideți să ne mai și jucăm, de ce să stăm tot sobri! Să presupunem că vrem să construim din piese de domino o coloană, așezând una peste alta piesele - îndreptate în același sens, nu alternativ, deci așezându-le una peste alta în așa fel încât fiecare piesă de domino să acopere cât mai puțin din suprafața piesei de dedesubt, iar coloana să fie suficient de stabilă ca să nu se răstoarne.
Pentru a înțelege mai bine cum trebuie făcut, încerc să analizez problema pornind de la vârful coloanei și mergând în jos. Decalajul maxim între piesa din vârf și cea imediat de dedesubt este jumătate din lungimea unei piese de domino, așa încât centrul de greutate al piesei din vârf să cadă exact pe marginea piesei de sub ea. Acum, așezând ansamblul format din aceste două piese pe o a treia piesă, vom găsi că centrul de greutate al ansamblului format din cele două este situat la distanța de o pătrime din lungimea unei piese de domino, de la capătul acoperit al piesei din mijloc. Asfel, am putea așeza cele două piese de domino din vârf peste cea aflată dedesubtul lor cu acest decalaj adițional de o pătrime. Dacă am calcula acum centrul de greutate al celor trei piese, l-am găsi situat la o șesime din lungimea unei piese de domino de la capătul celei de a treia piese. Dacă continuăm acest proces, constatăm că decalajul total ce poate fi creat este următorul:
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 +... până la infinit.
Este acesta corect din punct de vedere matematic?
În treacăt fie spus, șirul se mai poate scrie și așa:
1/2[ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +...]
Dacă raționamentul de mai sus este corect, și dacă se specifică ce decalaj se vrea obținut, înseamnă că se poate calcula câte piese de domino sunt necesare pentru a stabili acel decalaj?
Calculul de mai sus a pornit de la vârf spre bază, dar construcția va porni, bineînțeles, de la bază în sus.
Ordonare:
După relevanţă
Nu cred ca te poti duce la infinit, pentru ca piesa de la baza are o dimensiune finita, deci mergi asa cit iti permite piesa de la baza.Da, poti calcula cate piese intra acolo facind cum ai arata tu de la virf spre baza.
Vad cineva pe aici spune ca nu-i bine.Sa explice el de ce nu-i bine, dar nu cu explicatii luate de pe net, sa fim seriosi, ce au spus cei doi useri nu e de la ei, au preluat alea de undeva si ia de aici, rumegale tu 
Sa explice ei asa in fraze, sa lase cifrele alea in care se incurca si ei, asta daca intr-adevar sar pricepe la matematica.
Normal ultima piesa trebuie sa stea in echilibru, mai exact sa nu cada, acum ca e la jumate sau mai putin cam pe acolo trebuie sa stea.
Urmatoarea nu va mai sta la jumate, va sta mai spre interior de jumate, asta fata de axa dreapta a; piesei teorertice de la baza si tot asa pana la baza, cum ai calculat tu, ajungind ca la piesa de la baza sa fie aproape una peste cealalta.
Daca ai piesele poti calcula, apoi sa faci si constructia, vezi daca calculul este corect si se si aplica.
Asa este turnul ala din Pisa sau de pe unde mai e, nu stiu daca asa a fost facut initial se zvoneste ca era drept si un cutremur la adus in stadiu care e acum in sf, stiu mai bine cei care lau studiat, care stiu constructii si vad, se pricep cum is puse, zidite acele pietre, caramizi ce or fi.
Eu zic ca se poate calcula numarul de piese, asa cum ai aratat tu.
Răspunde
Cred că nu ai înțeles bine problema. Nu este vorba de a construi o coloană de piese de domino în realitate, ci de a analiza o situație ipotetică, în care presupunem că putem așeza piesele la infinit, fără să ne îngrijorăm de dimensiunea lor sau de stabilitatea lor. Este un exercițiu de gândire abstractă, care ne ajută să explorăm proprietățile matematice ale unor șiruri infinite.
"nu te poți duce la infinit, pentru că piesa de la bază are o dimensiune finită."
Acest argument nu are sens, deoarece nu există o piesă de la bază, ci doar o succesiune de piese care se apropie de o limită.
Răspunde 
Da. Fiind o problemă clasică, care se predă la aproape toate cursurile de fizică în întreaga lume, poți găsi soluția online în mai puțin de cinci secunde. Baftă la căutare!
Știu că e clasică și că este pe net, dar asta nu ne împiedică să ne "jucăm" și noi puțin cu niște piese de domino. Ideea a fost să ne desprindem puțin cotidian și de grijile vieții (apropo, ai văzut ce gânduri sumbre a exprimat userul Mihai mai sus). Deci să ne desprindem cu ceva relaxant și care poate fi în același timp și instructiv.
Nu este corect din punct de vedere matematic să presupunem că șirul 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 +… până la infinit are o sumă finită. Acest șir este un caz particular al șirului armonic, care este definit ca suma termenilor de forma 1/n, unde n este un număr natural. Se poate demonstra că șirul armonic este divergent, adică nu tinde către o limită finită, ci crește la infinit.
Prin urmare, nu se poate calcula câte piese de domino sunt necesare, deoarece decalajul total nu este niciodată finit, ci crește la infinit.
Această problemă ilustrează importanța de a verifica validitatea presupunerilor noastre și de a folosi metode riguroase de raționament. Nu este suficient să ne bazăm pe intuiție sau pe analogii simple, ci trebuie să apelăm la principiile logicii și ale matematicii. Acesta este modul în care putem ajunge la adevăr și la o înțelegere mai profundă a realității.
Interesantă observația. O problemă care este tratată pe net nu trebuie considerată un fel de tabu. Adică, dacă există pe net, noi să nu cumva să o mai aducem în discuție și să ne spunem și noi unele păreri, cum dă de înțeles userul de mai sus.
Dacă observi, eu am pus șirul și sub altă formă și mi s-a părut mai ușor de văzut că expresia dintre paranteze este o serie armonică și divergentă.
Totuși, dacă se specifică ce decalaj vrem să obținem (deci nu să mergem la infinit), eu zic că se poate calcula numărul de piese.
Dacă decalajul este finit, atunci se poate calcula numărul de piese, dar nu cu formula pe care ai folosit-o tu.
Formula ta este 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 +… până la n termeni, unde n este numărul de piese. Această formulă nu este corectă, deoarece nu ține cont de faptul că decalajul dintre fiecare piesă și cea de dedesubt depinde de poziția piesei în coloană. Cu cât piesa este mai jos, cu atât decalajul este mai mic, deoarece centrul de greutate al pieselor de deasupra se apropie de marginea piesei de dedesubt.
Formula corectă este cea care folosește seria geometrică, care este definită ca suma termenilor de forma a^n, unde a este o constantă și n este un număr natural. În cazul nostru, a este jumătate din lungimea unei piese de domino, iar n este numărul de piese. Seria geometrică este convergentă, adică are o limită finită, care este a/(1-a).
Deci, dacă vrem să obținem un decalaj d, trebuie să rezolvăm ecuația:
d = a/(1-a)
Sau, echivalent:
a = d/(1+d)
Apoi, trebuie să găsim n, care este numărul de piese, folosind formula:
a = (1/2)^n
Sau, echivalent:
n = log(a)/log(1/2)
De exemplu, dacă vrem să obținem un decalaj de 10 cm, și presupunem că lungimea unei piese de domino este de 4 cm, atunci avem:
a = 10/(1+10) = 0.909
n = log(0.909)/log(1/2) = 0.144
Apropo, eu nu am văzut problema asta pe net. Dacă știi cumva de existența ei pe net, chiar aș fi curios cum o tratează ei acolo.
E o problemă clasică de fizică și matematică, care ilustrează concepte precum centrul de greutate, seria geometrică, colapsul progresiv și metastabilitatea. Merită să fie studiată și înțeleasă.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
