Zilele trecute am dat peste un paradox interesant care suna in felul urmator:
Presupunand ca avem o scara de inaltime H si lungime L, ca in imaginea asta: http://i.imgur.com/czo35ey.png
Este limpede ca lungimea totala a suprafetei treptelor (linia verde din desen) va fi mereu egala cu suma intre inaltimea H si lungimea L. Acest fapt ramanand valabil indiferent de numarul treptelor.
Am fi tentati sa credem ca si pentru o scara cu un numar infinit de trepte relatia descrisa mai sus va ramane valabila. Ceea ce nu e valabil, din motive pe care nu reusesc sa le inteleg.
O scara cu un numar infinit de trepte ar fi echivalentul unei linii drepte, lungimea o putem afla din triunghiul dreptunghic cu teorema lui Pitagora. Lungimea fiind radical din H^2+L^2.
Concluzia:
Pentru o scara cu un numar finit de trepte lungimea este H+L.
Pentru o scara cu un numar infinit de trepte lungimea este radical(H^2+L^2)
Care credeti ca e motivul?
Hai sa luam problema asta putin invers, poate asa lucrurile sunt mai clare. Ce avem de fapt aici? Doua segmente perpendiculare. Cel vertical are lungimea H si cel orizontal are lungimea L. Sa ne imaginam ca avem o sfoara pe care o putem plia asa cum avem noi chef, cu dimensiunea oricat de mica intre oricare doua indoituri.
Practic ce ne dam seama din desenul tau si luand-o logic? Ca daca sfoara are lungimea L+H, atunci putem gasi dimensiunile potrivite pentru pliuri in asa fel incat sa putem plia sfoara in forma de n trepte si capetele sforii sa atinga capetele segmentelor perpendiculare.
Nu e neaparat sa o pliem in forma de trepte. Putem foarte bine sa-i dam forma unui sfredel, zigzag sau a unui arc de cerc sau nu stiu ce alta forma si sa o pliem in asa fel incat capetele sforii sa atinga capetele segmentelor perpendiculare.
Dar ramanem la forma in trepte, pentru ca din forma asta ne dam seama si vizual foarte usor ca daca unim segmentele orizontale si verticale care reprezinta lungimea si inaltimea tuturor treptelor ajungem la lungimea totala L+H. Oricum, cand facem chestia asta nu facem altceva decat sa masuram iarasi sfoara, despre care stiam deja ca are lungimea L+H. E clar ca dimensiunea treptelor o sa fie din ce in ce mai mica, daca numarul lor creste, din moment ce distanta dintre capetele celor doua segmente perpendiculare ramane aceeasi.
Bineinteles ca oricate pliuri i-am face sforii ca sa formam trepte, lungimea ei totala tot L+H o sa fie, pentru ca ramane aceeasi sfoara ca la inceput, nici nu o scurtam nici nu o lungim.
Tu zici ca daca numarul treptelor tinde la infinit, atunci putem face abstractie de inaltimea si lungimea treptelor. Asta inseamna ca e ca si cum sfoara ar intinsa, fara pliuri.
Daca tragem de sfoara si o intindem, bineinteles ca nu se modifica lungimea sforii, tot L+H ramane, ca si atunci cand avea pliuri.
Numai ca asta e momentul cand esti tu indus in eroare. In primul rand, intinzand sfoara ea nu o sa mai lege capetele segmentelor perpendiculare, deci se schimba datele problemei. In al doilea rand, tu nu mai masori sfoara, cum faceai inainte, cand aveai trepte si pliuri. Acum tu calculezi lungimea unei laturi a unui triunghi, in niciun caz lungimea sforii, ca sa te astepti sa iti dea acelasi rezultat ca inainte. Te gandesti cam asa: stai ca acum sfoara e ca o ipotenuza pentru triunghiul dreptunghic si ii calculez lungimea aplicand teorema lui Pitagora. Nu, sfoara nu e ca o ipotenuza, daca e intinsa depaseste cel putin un varf al triunghiului si nu are nici o logica sa aplici teorema lui Pitagora ca sa afli lungimea sforii.
Răspunde
Ordonare:
După relevanţă
Răspunde
Motivul?
Te plictisesti, nu?
Incearca prin a numara treptele scarii infinitului si intoarce-te sa ne comunicii rezultatul, cand ai terminat!
Stau și mă întreb dacă paradoxurile nu sunt decât niște erori mai mici sau mai mari în logica noastră, sau niște lucruri care o pot fenta. Adică o întrebare ar fi, oare chiar ar putea exista un paradox care are aplicație în lumea reală? Uite o întrebare de pus.
Răspunde
Nu e vina mea ca nu intelegeti conceptul de aproximare matematica.
De derivata ai auzit? Si aia e tot o limita si reuseste sa aproximeze perfect tangenta la un grafic intr-un punct. Si asta in ciuda contrargumentelor lui AlexandruAndrei ca punctele alea nu vor fi niciodata suprapuse cu punctul prin care trece tangenta, ci doar tind spre el.
In limbaj matematic daca am nota numarul de trepte cu ''n'', iar suprafetele orizontale si verticale cu ''o'' si ''v'', avem relatiile:
(1) L=n*o
(2) H=n*v
unde H si L reprezinta lungime si inaltimea scarii.
''n'' e numarul de trepte, o variabila, deci putem sa ii asociem o functie.
f(n)=n*o si sa ii calculam limita cand ''n'' tinde la infinit.
lim(n*o)= ∞*o
Numai ca noi stim din relatia (1) ca produsul asta trebuie sa fie egal cu o valoare finita.
∞*o=L
Singurul mod in care egalitatea ar fi valabila este daca si "o" tinde la 0 atunci cand ''n'' tinde la infinit.
Prin analogie putem deduce ca atunci cand ''n'' tinde la infinit si ''v'' tinde la 0.
Stim deci ca atunci cand n-->∞, v-->0 si o-->0.
Cu aceste notiuni incercam sa calculam suprafata ''S'' a scarii.
In mod normal S=L+H=n*o+n*l=n(o+l)
Deci S=n(o+l)
Formula e valabila cand numarul ''n'' de trepte e finit.
Cand numarul de trepte tinde la infinit obtinem:
S=∞*0, deoarece stim ca ''o'' si ''v'' tind si ele la zero.
Cam asta e raspunsul la problema pe care il vad eu. Intr-adevar, poate nu e un paradox, dar nu din motivele enuntate de tine sau alexandurandrei.
''Paradoxul" l-am gasit pe youtube, nu imi apartine.
https://www.youtube.com/watch?v=LWPOlZBXtD8
Si l-am postat spre a fi discutat. Daca esti incapabil sa dai u nraspuns te puteai abtine.
"Singurul mod in care egalitatea ar fi valabila este daca si "o" tinde la 0 atunci cand ''n'' tinde la infinit. "
"Stim deci ca atunci cand n-->∞, v-->0 si o-->0"
Eu:
"E diferență când înmulțești un număr care tinde la infinit cu unul care tinde la 0"
"2hl(tinde către 0) de sub radical, dar nu putem zice niciodată că 2hl=0 sau că nr treptelor=infinit(nu prea există a fi egal cu infinit ci a tinde către infinit), ai zis bine, cu cât mai multe trepte sunt cu atât se va găsi un număr mai mic care tinde spre 0"
Eu am spus că e logic că în timp ce numărul treptelor tinde la infinit(la cât mai mult) orizontala și verticala(eu le-am numit ca înălțime și lungime) vor tinde la 0 ( la cât mai puțin). De exemplu împarți un segment în n segmente(n tinde la infinit), atunci lungimea acelor segmente se va tot micșora în timp ce n devine mai mare deci lungimea segmentelor mici va tinde la 0(dar nu va atinge 0).
În rest se deduce tot din ce am zis și nu cred că l-ai văzut primul doar că e normal să nu dea același rezultat calculând o dreaptă normală cu una aproximată. Ceea ce ține de arce mereu se va aproxima(altfel nu prea poți, e o diferență mare între dreaptă și arc și e o diferență cum se calculează ariile în cazul unor suprafețe care conțin doar drepte sau care conțin și arce), ține minte, dar la drepte nu e cazul, cum am spus.
Oricum versiunea cu h-ul și l-ul meu sunt cam nefericite, faza e că tot ce trebuie să faci e să te prinzi că numărul treptelor tinde la infinit și dimensiunile lui o și v la 0, atât ca să ajungi la rezolvarea ta.
E ok până aici. Ce voiam să spun cu aproximatul e că e aiurea să aproximezi o dreaptă cu alte drepte(un arc e necesar să fie aproximat cu alte drepte iar eroare e neglijabilă, într-adevăr). În cazul ăsta m-am gândit, poți să o faci și tu cu puțină imaginație, că acele trepte oricât de mici ar fi își păstrează forma deci și acea proprietate că orizontalele adunate dau aia mare și vice versa, atâta timp când tind la 0. Doar dacă sunt 0 dimensiunile alea, obții un punct și atunci poți vorbi de o dreaptă. Nu ai cum să negi că chiar dacă tinde sau nu la infinit tot aia e, indiferent la cum te-ai gândi. Dreapta nu are de ce să fie aproximată iar lucrând la dimensiunile alea care sunt extrem de mici tinzând către 0 e clar că și eroare de la aproximare e neglijabilă. Nu mi se pare un lucru extraordinar. (cum ziceam primul calcul al meu a fost nefericit, tot ce trebuie să știi e că ambele tind la ceva și la ce, atât și să ai o oarecare viziune, în rest lucrurile sunt clare). Fii sigur că prin acea aproximare nu vei obține niciodată punctul, deci nici o dreaptă perfectă.
Sau dacă vrei să gândești altfel te gândești la pitagora aplicată la fiecare treaptă(obții un număr imens de mini-triunghiuri congruente din acele trepte). Ca să obții dreapta perfectă din fiecare mini triunghi aplici pitagora iar ce obții pentru fiecare mini-dreaptă aduni de n ori(n->infinit). asta e o modalitate să obții(nu să aproximezi) dreapta având în vedere dimensiunile treptei și numărul lor. ( de exemplu numerele pitagorice 3, 4, 5, ți se pare că 3+4=5? eu zic că eroarea e suficientă ca să dea aia, și asta e clar explicația, chiar dacă dimensiunile sunt extrem de mici și tind către 0 numărul lor va fi extrem de mare deci cu cât alegi să ai dimensiuni mai mici cu atât numărul cu care înmulțești dimensiunea dreptei perfecte crește deci eroare rămâne cam aceeași). Ți-am spus poți să te gândești la orice mărime ale acelor trepte( ele tot trepte rămân și chiar dacă tinde numărul lor la infinit sau nu e același lucru, asta dacă nu aproximezi!). Mai clar și prin mai multe moduri nu știu cum să explic dar dacă mai îmi vine revin cu mai multe răspunsuri. Nu mai confunda diferența dintre a aproxima un arc cu o dreaptă și a aproxima o dreaptă cu 2 drepte. Mi se pare foarte clar.
N-ar fi egal cu ce ai spus tu acolo, dar probabil ca ce ai vrut sa spui de fapt este ca are loc egalitatea H+L=suprafata scarilor. In practica, ar fi adevarat, pentru orice numar de scari, dar in teorie nu se poate intampla acest lucru datorita ordonarii. Ce vreau sa spun prin asta?
Pai niste oameni de stiinta au concluzionat ca la numerele(de fapt conceptele de) infinit, infinit+2, infinit+15, Alleph Nole si asa mai departe, pentru a putea fi distinsa dimensiunea unui astfel de concept, conteaza ordonarea.
Deci in cazul scarilor infinite, dimensiunea scarilor(H+L) este infinita, dar si dimensiunea H, respectiv L va fi infinita. Totusi se va indeplini mereu relatia H+L(=infinit)>H, L(=infinit).
O scara cu un numar infinit de trepte nu ar fi echivalentul unei linii drepte. Daca ar fi o linie dreapta, atunci n-ar mai fi trepte. Daca avem un numar infinit de trepte, atunci suprafetele orizontale si verticale ale treptelor sunt foarte mici si tind spre zero, nu sunt egale cu zero.
O scara cu un numar infinit de trepte este echivalentul unei drepte, tot asa cum un poligon cu numar infinit de laturi (apeirogon) este echivalentul unui cerc, matematic vorbind.
''Daca avem un numar infinit de trepte, atunci suprafetele orizontale si verticale ale treptelor sunt foarte mici''
Daca ar fi asa atunci lungimea si inaltimea scarii ar fi infinite. Deoarece "infinit*finit=infinit."
Daca suprafetele orizontale ar avea o valoare diferita de zero atunci un numar infinit al acestora ne-ar duce la concluzia ca si lungimea scarii e infinita.
Similar si pentru inaltime.
Numai daca lungimea suprafetelor orizontale/verticale ar fi egala cu zero am ajunge la o nedeterminare de forma "infinit*zero". Care poate sa fie egal cu orice, inclusiv cu lungimea L sau intaltimea H a scarii.
Repet: din moment ce vorbesti de trepte, trebuie sa aiba suprafete orizontale si verticale cu anumite dimensiuni, altfel n-ar avea nicio logica sa le numim trepte.
Nu e adevarat ca daca avem un numar infinit de trepte cu suprafetele verticale si orizontale de anumite dimensiuni, rezulta ca lungimea totala a suprafetelor lor e infinita.
La o lungime totala data a scarii, la orice numar de trepte cu o anumita dimensiune ne-am gandi ca s-ar putea construi, tot timpul s-ar gasi o dimensiune mai mica, asa incat sa se poata construi mai multe trepte, de unde rezulta ca se poate construi un numar infinit de trepte cu dimensiunea suprafetelor tinzand spre zero, asa cum am mai zis si in primul raspuns.
1.) Daca ai un numar infinit de trepte --> suprafata treptelor este egala cu zero.
2) Daca ai un numar de trepte care tinde la infinit --> suprafata treptelor tinde la zero.
In matematica limita unei functii si functia in sine sunt chestii complet diferite.
Varianta mixta nu exista.
Radical(h^2+l^2+"2hl")= radical(h+l)^2= h+l!
Ce avem în plus? 2hl(tinde către 0) de sub radical, dar nu putem zice niciodată că 2hl=0 sau că nr treptelor=infinit(nu prea există a fi egal cu infinit ci a tinde către infinit), ai zis bine, cu cât mai multe trepte sunt cu atât se va găsi un număr mai mic care tinde spre 0(și tot așa de un infinit de ori căci și numărul de numerele care tind spre 0 este infinit, culmea(în cazul nostru nicio dimensiune nu tinde către infinit! ci doar numărul a ceva). Echivalența este una prin aproximare, poate cam asta e și diferența dintre ce avem clar și ce aproximăm?
Genul de întrebări te pun puțin pe gânduri dar nu le poți numi paradoxuri.
Cam răspunsul tău voiam să îl dau și eu prima oară dar e clar că dacă aproximezi îți dă altceva decât în cazul în care ai calcula ceva cu valori exacte(strict matematic). E logic, mai ales că atunci când vorbim de un arc de cerc de dimensiune care tinde la 0, vorbim de o dreaptă. Așa ne putem gândi că după ce am aproximat un arc de cerc printr-o dreaptă să o aproximăm după și pe aia printr-o scară(cu chestii mai mici decât chestiile supermici prin care le-am aproximat odată(o dreaptă nu prea are rost sa fie aproximată prin ceva). Mind Blowing.
E diferență când înmulțești un număr care tinde la infinit cu unul care tinde la 0. (amândouă tind la ceva, niciunul nu poate fi clar ceva sau altceva). Și de aici ce ai explicat tu.
Daca suprafata unui lucru este egala cu zero, atunci acel lucru nu exista. Despre ce vorbim noi aici?
Exista sub forma de punct geometric, care nu are dimensiuni.
Cand numarul de trepte tinde la infinit fiecare treapta tinde la un singur punct ( reprezentat de intersectia suprafetei laterale a treptei cu cea orizontala), puncte care la randul lor tind sa se apropie de ipotenuza triunghiului dreptunghic, iar in final sa coincide cu ea.
Un numar infinit de puncte situate in lungul unei singure dimensiuni? Pai asta e chiar definitia unei drepte.
Unde se afla acele puncte? Chiar pe lungimea ipotenuzei? Pai atunci vorbim chiar de ipotenuza.
''trebuie sa aiba suprafete orizontale si verticale cu anumite dimensiuni, altfel n-ar avea nicio logica sa le numim trepte.''
Le numim trepte deoarece treapta e conceptul geometric de la care am pornit si caruia i-am aplicat notiunea de limita. Ca in final degenereaza la o infinitate de puncte ce dau nastere unei drepte este partea a doua.
AlexandruAndrei a avut dreptate inca din prima postare. Nu poti echivala dreapta cu o infinitate de trepte care se succed. Numai in cazul in care volumul - daca gandim in 3d (nu numai suprafata) fiecarei trepte tinde la 0. Ceea ce inseamna ca deja nu mai vorbim de trepte.
Ce afirmi tu cu 1) si 2) presupune ca spatiul e limitat - ceea ce e fals. Daca ar fi limitat, nu am putea vorbi nici de infinitate de trepte.
Deci paradoxul nu exista si problema nu e bine pusa. De altfel, relatia aratata pentru un nr. limitat de trepte ramane valabila si pentru o infinitate de trepte. Deci vorbim de o lege.
E o problema 2D, nu exista volum.
Termenul ''suprafata'' l-am preluat fara sa vreau de la AlexanduAndrei.
In orice caz nu e mare branza sa extrapolezi la problema 3D. Mare parte din problema ar ramane neschimbata.
Evident ca spatial este limitate deoarece lungimea L si inaltimea H a scarii au valori finite.
''Daca ar fi limitat, nu am putea vorbi nici de infinitate de trepte. ''
Fals.
Vezi conceptul de 'fractal'' si cel de ''supertask''.
Infinitul incape si intre numarul 1 si 2. Si intr-un segment de dreapta.
Aici e toata chestia, ca doar se apropie de ipotenuza, dar nu o sa coincida cu ea in final. Pentru simplul fapt ca nu exista final. Tot timpul o sa gasesti o dimensiune mai mica a treptelor, dar care sa fie totusi diferita de zero.
Oricum, daca vrei sa luam cazul la care vrei sa ajungi tu, e normal sa-ti dea rezultate diferite, pentru ca nu calculezi acelasi lucru.
In primele exemple ai niste trepte si calculezi suma laturilor lor si la sfarsit nu mai ai trepte si chiar daca vrei neaparat sa le numesti trepte, cum ai spus si tu, nu mai au dimensiuni si in cazul asta nu mai calculezi suma laturilor unor trepte. Atunci ce calculezi de fapt? Distanta intre doua varfuri ale unui triunghi.
E ca si cum ai avea de ajuns de la punctul A la punctul B si te-ai astepta sa ai de parcurs aceeasi distanta, indiferent daca mergi in linie dreapta ori daca o iei in zigzag.
Nu o atinge niciodata, tinde spre ea.
De asta folosim conceptul de LIMITA atunci cand spunem ca este echivalentul ipotenuzei. Limita asta reuseste sa aproximeze ipotenuza tot asa cum derivata aproximeaza tangenta intr-un punct.
Derivata cum de reuseste sa aproximeze tangenta pe acelasi i principiu?
Integrala cum reuseste sa aproximeze o arie prin acelasi principiu?
La astea cum de merge limtia si aici nu mai functioneza.
Contraargumentul asta al tau am putea sa il invocam si in cazul derivatei.
Domne, punctul ala tinde spre punctul tangent dar nu il atinge. Deci nu e tot una cu punctul tangent.
Sau, Domne, dreptunghiurile alea tind sa umple aria subgraficului dar nu vor reusi niciodata sa o umple exact, deci nu e tot una. Colturile dreptunghiului nu pot decat sa tinda spre curba respectiva.
Cu toate acestea, in ambele cazuri stim ca functioneaza metoda. Contrargumentul tau fiind fals.
Pentru ca vorbim de limita, un concept matematic ce ne permite aproximarile de mai sus.
Deci ce se intampla e ca intr-adevar, daca numarul de trepte (pliuri) tinde la infinit, se obtine o dreapta perfecta in lungul ipotenuzei. Numai ca lungimea dreptei va fi mai mare decat ipotenuza.
Nu. Hai sa simplificam si mai mult, sa sa vedem si mai bine lucrurile. Facem abstractie de cele doua segmente perpendiculare cu dimensiunile L si H si ne concentram numai la capetele lor opuse punctului de intersectie si la sfoara.
Daca unim aceste doua capete cu un segment imaginar stim ca lungimea lui e egala cu radical din (H^2+L^2).
Sfoara are lungimea L+H.
Problema ne cere sa unim cele doua puncte situate la distanta egala cu radical din (H^2+L^2) unul fata de celalalt prin acea sfoara care are lungimea L+H.
E clar ca radical din (H^2+L^2) e mai mic decat H+L.
Cum putem face ca o sfoara mai lunga decat distanta dintre doua puncte sa le uneasca fara sa le depaseasca? Printr-un singur mod, pliind sfoara in asa fel incat sa se incadreze intre cele doua puncte. Daca am intinde sfoara perfect, atunci ea nu s-ar mai putea incadra intre punctele alea.
Daca ar depasi cel putin unul dintre punctele aflate la capetele segmentelor perpendiculare, atunci nu s-ar m-ai respecta cerintele din problema, care spun ca prin treptele trasate trebuie sa se uneasca cele doua puncte.
Hai sa luam problema asta putin invers, poate asa lucrurile sunt mai clare. Ce avem de fapt aici? Doua segmente perpendiculare. Cel vertical are lungimea H si cel orizontal are lungimea L. Sa ne imaginam ca avem o sfoara pe care o putem plia asa cum avem noi chef, cu dimensiunea oricat de mica intre oricare doua indoituri.
Practic ce ne dam seama din desenul tau si luand-o logic? Ca daca sfoara are lungimea L+H, atunci putem gasi dimensiunile potrivite pentru pliuri in asa fel incat sa putem plia sfoara in forma de n trepte si capetele sforii sa atinga capetele segmentelor perpendiculare.
Nu e neaparat sa o pliem in forma de trepte. Putem foarte bine sa-i dam forma unui sfredel, zigzag sau a unui arc de cerc sau nu stiu ce alta forma si sa o pliem in asa fel incat capetele sforii sa atinga capetele segmentelor perpendiculare.
Dar ramanem la forma in trepte, pentru ca din forma asta ne dam seama si vizual foarte usor ca daca unim segmentele orizontale si verticale care reprezinta lungimea si inaltimea tuturor treptelor ajungem la lungimea totala L+H. Oricum, cand facem chestia asta nu facem altceva decat sa masuram iarasi sfoara, despre care stiam deja ca are lungimea L+H. E clar ca dimensiunea treptelor o sa fie din ce in ce mai mica, daca numarul lor creste, din moment ce distanta dintre capetele celor doua segmente perpendiculare ramane aceeasi.
Bineinteles ca oricate pliuri i-am face sforii ca sa formam trepte, lungimea ei totala tot L+H o sa fie, pentru ca ramane aceeasi sfoara ca la inceput, nici nu o scurtam nici nu o lungim.
Tu zici ca daca numarul treptelor tinde la infinit, atunci putem face abstractie de inaltimea si lungimea treptelor. Asta inseamna ca e ca si cum sfoara ar intinsa, fara pliuri.
Daca tragem de sfoara si o intindem, bineinteles ca nu se modifica lungimea sforii, tot L+H ramane, ca si atunci cand avea pliuri.
Numai ca asta e momentul cand esti tu indus in eroare. In primul rand, intinzand sfoara ea nu o sa mai lege capetele segmentelor perpendiculare, deci se schimba datele problemei. In al doilea rand, tu nu mai masori sfoara, cum faceai inainte, cand aveai trepte si pliuri. Acum tu calculezi lungimea unei laturi a unui triunghi, in niciun caz lungimea sforii, ca sa te astepti sa iti dea acelasi rezultat ca inainte. Te gandesti cam asa: stai ca acum sfoara e ca o ipotenuza pentru triunghiul dreptunghic si ii calculez lungimea aplicand teorema lui Pitagora. Nu, sfoara nu e ca o ipotenuza, daca e intinsa depaseste cel putin un varf al triunghiului si nu are nici o logica sa aplici teorema lui Pitagora ca sa afli lungimea sforii.
Paradoxul asta este asemanator cu "segmentul infinit".
Oricum, stim din matematica ca nimic nu este egal cu infinit ci poate tinde la infinit. Cu alte cuvinte intra atatea trepte cat poti sa numeri.
''nimic nu este egal cu infinit''
Cand spui ca ceva e infinit se intelege ca te referi la limita lui.
Ex: limita lui x^2, cand x tinde la infinit, este egala cu infinit.
Asa si aici, limita nr de trepte este infinit, iar limita suprafetei treptelor e zero.
La asta m-am referit cand am spus ca nr treptelor e infinit.
-
anonim_4396 întreabă:
2 răspunsuri
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
