Zilele trecute m- am jucat putin cu plantatul florilor. Imi pare interesant ca poti trasa o elipsa doar folosind doi tarusi si o sfoara. Daca ai insa un singur tarus infipt in pamant si o sfoara de...? (mai mult)

Question

Zilele trecute m-am jucat putin cu plantatul florilor.  Imi pare interesant ca poti trasa o elipsa  doar folosind doi tarusi si o sfoara.   Daca ai insa un singur tarus infipt in pamant si o sfoara de lungime "r" poti trasa un cerc de raza "r„.  Asta presupunând ca parcurgi o rotatia completa in jurul tarusului si in tot acest timp sfoara este perfect intinsa pe lungimea ei "r"
In acest caz distanta pe care o parcurgi va fi perimetrul cercului, adica 2*pi*r.
Ma intrebam insa ce se intampla daca in timp ce te rotesti continui sa te apropii in mod constant de tarus,astfel incat daca initial te aflai la distanta "r" metri  fata de tarus, la sfarsitul unei rotatii complete distanta se va micsora devenind "h" metri. Ce distanta ai parcurge in acest caz? Perimetrul acestei noi figuri va fi undeva intre perimetrul cercului de raza "r" si cel al cercului de raza "h", insa care e valoarea exacta? Se poate oare gasi un raspuns?

T0T · Accepted Answer

Mă gândeam eu că nu poate fi așa simplu :)) Sincer, la spirală m-am gândit și eu prima oară dar genul ăsta de abordări mi se par o bătaie de cap. Cred că micul decalaj de la ceea ce am zis eu provine de la faptul că până la jumătatea drumului ai mai mult de parcurs, dacă te apropii uniform, decât după jumătatea drumului și de aceea nu va exista o proporționalitate exactă.

 Ceea ce ai calculat este un caz particular de spirală Arhimede fiind reprezentată de r=p*θ.  Ecuația generală este reprezentată de r=a+b*θ. Din ceea ce mi-am dat eu seama b controlează lungimea dintre liniile spiralei iar cu ajutorul lui a poți obține, probabil, genul de chestie la care te gândeai tu, ducându-te de la origine în altă parte deși din cauza lui se modifică proporționalitatea dintre restul datelor ceea ce nu face problema prea simplă.

 Unul dintre puținele moduri prin care cred că poți calcula asta e folosind formula lungimii unei curbe în coordonate polare unde ai de unde până unde te duci(în cazul tău fiind o rotație completă te duci de la 0 la 2pi), raza r și unghiul θ(variabila din integrală) adică :    L=integrală de la un θ1 până la θ2 din radical(r^2+(dr/dθ)^2) dθ.
Forma acestei lungimi pentru spirala cu o singură rotație, dacă înlocuim r cu a+bθ va fi:
L=integrala de la 0 la 2pi din radical((a+bθ)^2+b^2)dθ, deoarece a+bθ derivat cu variabila θ este b.

 Normal că am fost curios să văd dacă îmi dă același lucru ca la calculator dacă aplic formula asta generală pentru p*θ(în detrimentul formulei de acolo- care cred că e simplificată din asta)
 Obțin L= integrala de la 0 la 2pi din radical((p*θ)^2+p^2) dθ.
 În cazul exemplificat de tine, pentru r=5, vom obține p=r/2pi=0.796
 Înlocuim și obținem L= integrala de la 0 la 2pi din radical((0.796*θ)^2+0.796^2) dθ
 Prelucrând integrala observ că se obține formula aia cu înlocuirea de vigoare anume 1/3*radical(2914/511)(1/2*θ*radical(1+θ^2)+1/2*ln(θ+radical(1+θ^2)). Înlocuind θ ca atare obținem o formă în care înlocuim θ cu 2pi(înlocuind cu 0 expresia dă 0). Se poate reduce la o formă și mai simplificată ln putând să se reprezinte ca arcsinh(2pi). Făcând toate calculele cu calculatorul am fost fericit să văd rezultatul de care ai vorbit, 16,     91,    cu o eroare mică de vreo 0,     003.   

 Deci cam asta ar trebui să fie formula cu care să calculezi ceea ce vrei dacă metoda mea simplistă nu este prea exactă. Cum alegi parametrii acolo neapărând doar un p ci și un a și un b, e o altă problemă. Poate există o formă mai generală care să te aducă unde vrei mai ușor, însă nu știu.

T0T · Answer

Nu sunt sigur iar răspunsul pare cam prea simplu, dar nu e distanța respectivă echivalentă cu a unui cerc care se află în mijlocul dintre cele 2 cercuri de rază r și h(la distanțe egale de fiecare)? Adică în primul moment ești la distanța r de țăruș. În ultimul moment, la distanța h. Într-un moment 2 vei fi la o distanța r-p iar în penultimul moment vei fi la o distanță h+p și tot așa(însumând fiecare astfel de moment cu celălalt obții h+r.) Practic mi se pare la fel cum te-ai menține la distanța (h+r)/2. La jumătatea drumului vei ajunge exact la o distanță de (h+r)/2 (raza cercului din mijloc) în rest păstrându-se o proporționalitate.

Inferno · Answer

Sincer nu am resusit sa gasesc raspunsul. Pare logic ce spui. 
Din cate inteleg genul asta de figura geometrica pare a fi "spirala lui Arhimede". 
"Dacă o dreaptă cu una din extremități rămânând fixă este făcută să se rotească cu o viteză unghiulară uniformă într-un plan până se reîntoarce în poziția inițială, și dacă, în același timp cu rotația dreptei un punct se mișcă cu viteză uniformă de-a lungul dreptei, începând de la extremitatea fixă, punctul va descrie o spirală în plan." - https://ro.wikipedia.org/wiki/Spirala_lui_Arhimede
Cu singura exceptie ca spirala lui Arhimede nu are ca punct de oprire perimetrul unui cerc de raza "h", ci ajunge chiar in origine, echivalent cu h=0. 
Daca folosim:
https://rechneronline.de/pi/spiral.php
Pentru r=5 obtinem perimetrul=16, 91
Dupa formula data de tine perimetrul da 15,     7.

T0T · Answer

Am descoperit totuși că există un decalaj constant între drumul gândit de mine și drumul care se apropie uniform de origine calculat de tine cu ajutorul spiralei Arhimede. Decalajul constat se rezumă la situația în care h=0, nu pot garanta pentru situații de genul h>0 însă cred că de asemenea există un decalaj constant și în asemenea situații.
 Văzând că diferența e destul de mică am încercat să fac asta pentru mai multe numere. Surpriza mea a fost ca la ochi să observ că diferența respectă o anumită regulă. M-am gândit automat la procente căci era clar că nu e vorba de un decalaj reprezentant de o simplă constantă. Normal că numărul mai mic, a (pi*r) reprezintă o parte din cel mai mare, b. Procentul era reprezentat de x=b*100/a. Așa am observat că aplicând formula asta pentru procente la fiecare grup de rezultate se păstrează același x! Tot ce mai trebuia să fac era 100-x ca să văd cu cât rezultatul corect e mai mare decât cel reprezentant de formula mea. La partea zecimală mi s-a părut o ambiguitate nedând de data asta rezultatul așteptat(era decalat cu puțin dar totuși decalat destul). Totuși în cele din urmă am găsit faptul că constanta este aproximativ pi*r*7, 68%. Desigur că în momentul în care lucrezi cu numere extrem de mari vei avea nevoie de mai multe zecimale la acel procent ca să obții un rezultat cât mai exact însă cred că e îndeajuns cu 2 zecimale pentru numere normale și e o eroare destul de mică. Se pot face calcule mult mai exacte dacă se găsește și un număr mai exact iar eu cred că e un plus pentru a face un program care lucrează mai repede și mai puțin, formula mea fiind net mai ușoară. Dacă știam și alte situații pentru h>0 probabil găseam, dacă nu am găsit deja, o formulă generală, mult mai simplistă la problema ta.
 Deci formula mea pentru lungime va fi pentru K=pi*r, L=K+K*7.68%=K(1+7.68%).
 Nefiind un număr exact(aproximat) și crezând că nu s-a mai gândit altcineva la asemenea decalaj o voi numi constanta lui tot :)) fiind T aproximativ 7.68%.
 Deci L=K(1+T), probabil doar pentru h=0...