Ordonare:
Cronologică
Răspunde
Teorema lui Lagrange.
Teorema lui Lagrange afirmă că dacă G este un grup finit, atunci ordinul (numărul de elemente) al oricărui subgrup H divide ordinul lui G.
Mulțimea elementelor lui G poate fi partiționată în clase cu același număr de elemente, care este egal cu numărul de elemente al lui H.
Partiționarea este definită printr-o relație de echivalență :
x~y dacă și numai dacă există un h în H astfel încât x = y.h
Se poate verifica ușor că aceasta este o relație de echivalență. Avem, în continuare,
x~y dacă și numai dacă
x aparține lui y.H dacă și numai dacă
y aparține lui x.H
Așadar, clasa unui element x este x.H, care poate fi notată la fel de bine cu y.H, pentru orice element y echivalent cu x.
Însă orice clasă g.H are același număr de elemente cu H. Pentru a dovedi aceasta, trebuie scrisă o bijecție între elementele lui H și elementele lui g.H.
O bijecție este dată de
φ : H → g.H
x → g.x
Se verifică ușor că funcția φ definită mai sus este o bijecție.
Mai trebuie observat că H, ca mulțime, este la rândul ei o clasă de echivalență : H = 1.H
În concluzie, toate clasele H, g1.H, g2.H,... au același număr de elemente, deci ordinul lui G trebuie să fie un multiplu al ordinului lui H.
Numărul de clase se numește indicele lui H în G și poate fi notat, de pildă, cu [G : H]. Q.E.D.
Prin a.B s-a înțeles mai sus mulțimea elementelor de forma a.b, unde b parcurge B
Mă supui unui efort mintal care trece cu mult capacitatea maximă de inteligenţă a Cerebelului meu.
-
anonim_4396 întreabă:
30 răspunsuri
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
