Răspunde
Ordonare:
După relevanţă
Răspunde
Tema la mate?
sau doar vrei să ne verifici?
anyway p. p. până la 20 sunt : 1, 4, 9, 16
Baftă!
Pentru început vom aminti câteva rezultate cunoscute şi des folosite în acest cadru :
Ultima cifră a unui pătrat perfect este doar una dintre cifrele
0, 1, 4, 5, 6, 9.
Orice pătrat perfect are una dintre formele 4p sau.
(Într-adevăr, dacă, atunci, iar dacă, avem )
Orice pătrat perfect este de forma 3p sau.
(Ca şi mai înainte, considerăm şi ridicăm la pătrat)
Dacă un pătrat perfect conţine un factor prim în descompunere, atunci
acest factor este de fapt la o putere pară în descompunerea numărului iniţial.
Restul împărţirii oricărui pătrat perfect la 4 este 0 sau 1.
Vă prezentăm acum câteva exerciţii care au constituit subiecte de concurs, în speranţa că vă veţi familiariza şi cu acest teren:
(1) Arătaţi că numărul nu este pătrat perfect.
(Sorin Budişan, OL Bistriţa-Năsăud, 2006)
Soluţie: Ultima cifră a numărului dat este. Deoarece,, deducem imediat că, deci B nu poate fi pătrat perfect (conform 1) ).
(2) Considerăm numerele naturale de forma.
a) Arătaţi că pentru orice, numărul nu este pătrat perfect.
b) Determinaţi pentru care este pătrat perfect.
(OJ Botoşani 2006, clasa a V-a)
Soluţie: a) Dacă avem că există astfel încât şi astfel Deoarece numărul este impar, deducem că conţine factorul prim 2 la puterea impară 7, aşadar nu este pătrat perfect;
b) Căutăm acum şi calcule imediate conduc la unica soluţie.
(3) Scrieţi numărul ca sumă de trei pătrate perfecte nenule.
(Concurs RMCS 2006)
Soluţie:
(4) Determinaţi numerele naturale impare n cu proprietatea că numărul este pătrat perfect.
(Ioana şi Gheorghe Crăciun, Concurs 2006)
Soluţie: Pentru obţinem, adică un pătrat perfect. Să
observăm acum că dacă n este număr par ultimele două cifre ale lui sunt 25, iar dacă n este impar ultimele două cifre ale aceluiaşi număr sunt 75. Ajungem astfel la:, n impar şi, de unde, care nu este pătrat perfect (conform 2))
(5) Să se determine toate numerele naturale n de două cifre pentru care numărul este pătrat perfect.
(OL Vaslui, 2006, clasa a VII-a)
Soluţie: Evident, trebuie să fie de asemenea pătrat perfect; cum n
are două cifre, deducem Imediat se ajunge
acum la; cum trebuie să fie pătrat perfect, ajungem doar la.
(6) Să se arate că pentru orice număr natural, numărul, unde 1 apare de n ori, iar 4 apare de 2n ori, nu este pătrat perfect.
(Cecilia Deaconescu, OJ 2006, clasa a VII-a )
Soluţie: Notăm cu a numărul de n cifre avem Deoarece dă prin împărţire la 4 restul 3, avem că a nu este pătrat perfect(conform 2)). Aşadar numărul dat A nu este pătrat perfect.
(7) Există astfel încât numărul să fie pătrat perfect?
(Damian Marinescu, GM 1-2007)
Soluţie: Dacă n este număr par, atunci restul împărţirii lui la 4 este 2, iar dacă n este impar, restul împărţirii la 4 este 3. Folosind rezultatul 5) din introducere, deducem că nu există numere care satisfac proprietatea din enunţ.
(8) Determinaţi numărul în baza 10, ştiind că atât el cât şi sunt pătrate perfecte.
Soluţie: Evident, Deoarece a şi b sunt ultimele cifre ale unor pătrate perfecte, deducem că. Dintre pătratele perfecte de trei cifre care încep cu una dintre aceste cifre şi care au cifra unităţilor egală cu cea a zecilor putem alege doar pe 441. Cum şi 144 este pătrat perfect, deducem că numărul cerut este chiar 441.
(9) Arătaţi că pentru orice există x şi y pătrate perfecte astfel încât.
(GM 2-1986)
Soluţie: Pentru avem.
Pentru scriem şi astfel avem.
Pentru, un calcul asemănător conduce la.
(10) Arătaţi că, oricare ar fi, numerele şi nu pot fi simultan pătrate perfecte.
Soluţie: Prin reducere la absurd, presupunem că există pentru care A şi B sunt pătrate perfecte. Datorită simetriei expresiilor care definesc aceste numere, putem considera, fără a restrânge generalitatea problemei, că. În aceste ipoteze, vom avea
, de unde
Avem acum că B este pătrat perfect dacă şi numai dacă, de unde, absurd.
(11) Arătaţi că resturile posibile ale împărţirii unui pătrat perfect la 9 sunt 0, 1, 4 şi 7.
Soluţie: Orice număr natural n se poate scrie sub forma. Avem în continuare, cu, aşadar.
(12) Arătaţi că
(OL Bucureşti, 2004)
Soluţie: Pentru orice, produsul este număr par, deci este multiplu de 10 şi astfel numărul de sub radical are, pentru orice, ultima cifră 7, deci nu poate fi pătrat perfect.
(13) Arătaţi că suma dintre numărul 1 şi produsul primelor n numere prime nu este pătrat perfect, oricare ar fi.
Soluţie: Considerăm primele n numere prime :
şi presupunem, prin reducere la absurd, că există astfel încât, de unde. Cum, avem că produsul din stânga este număr par, aşadar produsul din dreapta trebuie să fie tot număr par; dacă însă unul dintre cei doi factori e multiplu de 2, atunci şi celălalt are aceeaşi proprietate, deci produsul din dreapta este multiplu de 4. Produsul din stânga nu poate fi însă multiplu de 4, deci presupunerea făcută e falsă.
(14) Dacă a este un număr natural cu 2004 cifre pentru care 2003 cifre aparţin mulţimii, iar o cifră aparţine mulţimii, arătaţi că. (Romeo Zamfir, ShortList ONM 2004)
Soluţie: Conform ipotezei avem că suma cifrelor numărului a este un număr de forma, aşadar numărul a este de fapt de această formă.
(Orice număr natural dă la împărţirea cu 3 acelaşi rest ca şi suma cifrelor scrierii sale în baza 10). Acum, folosim rezultatul 3) din introducere, adică a nu poate fi pătrat perfect.
(15) Arătaţi că dacă P este un pătrat perfect având nouă cifre, dintre care nici una nu este 3, atunci P are cel puţin două cifre identice.
(Ioana şi Gheorghe Crăciun)
Soluţie: Presupunând, prin absurd, că toate cifrele numărului sunt distincte, suma acestora este 42, deci numărul P se divide cu 3, dar nu se divide cu 9, aşadar P nu este pătrat perfect, contradicţie.
(16) Găsiţi numerele naturale n,, pentru care este pătratul unui număr întreg. (OBMJ, Macedonia, 2000)
Soluţie: Considerând avem, aşadar există astfel încât şi
. Deoarece, deducem
. Acum, dacă, ajungem la, adică şi astfel. (În rest, pentru, se arată prin inducţie matematică: ). Aşadar deocamdată avem În cazul în care, deducem, de unde şi astfel
Pe de altă parte însă,,
contradicţie cu rezultatul găsit anterior. Aşadar,
(17) Determinaţi numărul pătratelor perfecte de 5 cifre care au ultimele două cifre egale. (Baraj OBMJ, 1999)
Soluţie: Dacă este un
număr cu proprietatea din enunţ, folosind rezultatul 2) din introducere
şi faptul că, deducem
I) Dacă, atunci fiind pătrat perfect, ajungem la, adică avem 22 de numere convenabile;
II) Dacă, de unde. Avem acum următoarele subcazuri:
(i)
(ii), de unde, adică obţinem încă 5 numere.
(iii) dacă
(iv) dacă
(v) dacă, de unde, adică încă patru numere.
Avem astfel un total de 31 de numere care satisfac cerinţa din enunţ.
Vă propunem acum să vă încercaţi puterile cu următoarele:
(1) Dacă n este o sumă de două pătrate perfecte, arătaţi că şi 2n este
o sumă de două pătrate perfecte.
(2) Arătaţi că dacă şi sunt pătrate perfecte, atunci
n este multiplu de 40.
(3) Arătaţi că dacă n se poate scrie ca suma a trei pătrate a unor
numere naturale, atunci şi are aceeaşi proprietate.
.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
