As vrea sa inchei contractul de inchiriere pe luna asta si sa ma mut.
Intrebarea e, pot sa plec fara sa mai platesc luna asta? Pe 20 se plateste.

Trebuie sa anunt cu un anumit numar de zile inainte de incheiere?

Trebuie sa respecti ceea ce scrie in contract. Noi nu avem de unde sa stim ce conditii sunt trecute acolo, de cand a inceput, cand se termina, ce garantii ai platit, ce clauze ai in cazul plecarii inainte de termen, etc.

Daca in contractul de inchiriere nu se prevede un anumit termen de preaviz atunci trebuie sa respecti termenul prevazut de Codul civil, citez:
"ART. 1.824. Închirierea făcută fără determinarea duratei  
(1)Atunci când contractul de închiriere s-a încheiat fără determinarea duratei şi nu s-a convenit altfel, chiriaşul poate denunţa contractul prin notificare, cu respectarea unui termen de preaviz care nu poate fi mai mic decât sfertul intervalului de timp pentru care s-a stabilit plata chiriei.
ART. 1.825.Denunţarea închirierii încheiate pe durată determinată  
(1)Dacă închirierea este pe durată determinată, locatarul poate denunţa unilateral contractul prin notificare, cu respectarea unui termen de preaviz de cel puţin 60 de zile. Orice clauză contrară este considerată nescrisă."
Daca pleci fara notificare vei pierde garantia (daca ai dat garantie) si proprietarul e poate da in judecata pentru plata chiriei pe perioada de preaviz.
Te poti intelege cu proprietarul sa renunte la preaviz, in orice caz va trebui sa platesti chiria si pe perioada din aceasta luna.

Chiar daca plec mai devreme de 20?

Desigur, este obligatoriu sa platesti cel putin pe zilele in care ai stat in locuinta, daca garantia nu acopera aceste zile ori n-ai dat garantie.