Am căutat pe net definitia pentru proprietatea lui darboux și am găsit doar definiții pentru funcții care au proprietatea lui darboux. Care este de fapt proprietatea lui darboux?

Proprietatea Darboux este proprietatea unei functii de a
transforma orice interval (din domeniu), intr-un alt interval (in codomeniu). Adica functia nu sare valori.

Sa spunem ca ai o functie definitia in R pe intervalul [1; 5]. Asta e domeniul.

Functia va asocia fiecarui element din acest interval un altul, din codomeniu.
Sa spunem ca pentru 1 asociaza elementul 2. Adica f(1)=2.
Si pentru 5 asociaza pe 6. Adica f(5)=6.


Codomeniul ar fi [2; 6]
Daca in acest interval [2; 6] functia nu sare niciun numar, atunci ea are proprietatea Darboux.
Daca sare un numar (sa spunem ca il sare pe 3), atunci nu are proprietatea Darboux.

Ideea e ca functia trebuie sa ia absolut orice numar REAL din acel interval, deci si pe 2, 1; 2, 2; 2, 3; 2, 4, etc




Generalizarea ar fi ca daca ai intervalul [a; b].

Iar functia asociaza valorile [f(a); f(b)]

Pentru orice numar z cuprins in acest interval [f(a); f(b)] trebuie sa existe un x apartinand [a; b] astfel incat f(x)=z.
Ma rog, e tot chestia de mai sus dar spusa invers.
http://i.imgur.com/eK3t8Pj.jpg

O functie este integrabila daca este discontinua intr-un numar finit de puncte. http://press.princeton.edu/chapters/s7_8221.pdf

Definitia din imagine s-o fi aplicand si pentru http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sgn%28x%29+from+x%3D-1+to+1

...oare?

De exemplu pe intervalul [-2; 2] functia asociaza valorile din intervalul [-1; 1]. Daca alegem z=0, 35, atunci z apartin intervalului [-1; 1]
Conform definitiei ar trebui deci sa exista un "x" apartinand [-2, 2] pentru care f(x)=0, 35. Iar eu nu gasesc un asemenea "x" din moment ce functia ta asociaza pentru orice "x" numai volrile 1, 0 si -1.

Bun, sgn(x) inseamna ca nu are proprietatea Darboux, dar fiind discontinua intr-un numar finit de puncte, este integrabila.

Asa,si? Ce legatura are cu ce am spus eu?

Era doar o constatare.

Prop lu nenea asta o faci dupa ce faci lim laterale asa ca lim de stanga mai mic sau egala decat f de x, iar f de x mai mic sau egal decat lim de dreapta iar daca inecuatia este adevarata atunci functia are prop lui darbeaux