Ati putea, fara a folosi google sau orice alta sursa de inspiratie, sa spuneti de ce aria dreptunghiului este egala cu produsul laturilor? Cam care ar fi logica?
Dar in cazul cercului? (pi *r^2)

Pentru că dacă pui lungimea una lângă alta de lățime ori obții suprafața dreptunghiului.
În cazul ariei cercului este vorba de o aproximare a unui număr cât mai mare de arce cu corzile respective deci de fapt avem de a face cu aria unui poligon care include cercul respectiv. Cum se calculează aria unui poligon? Îl împarți în triunghiuri și după însumezi ariile triunghiurilor un număr de triunghiuri care tinde la infinit.
Nu e vreo demonstrație mai amplă sau ceva dar cam asta e logica.

Hmm. La demonstratia asta nu m-am gandit.
Deci trasezi un numar infinit de arce si formezi un apeirogon, dupa care il imparti intr-un numar infinit de triunghiuri si le aduni.
Ok. Insa cum rezulta de aici renumita formula A=pi r^2?

Imi dau seama ca ai putea da factor inaltimea triunghiurilor (aria cercului) si pe 1/2, insa ce faci cu suma infinita de baze?

Daca luam un dreptunghi cu latura de 1 m pe 2 metri, in aria lui avem doua patrate de 1 metru, adica 1*2; de aici putem extinde, intr-un dreptunghi de 3 metri pe 5 metri, avem 15 patrate de 1 metru latura (incepem pe latieme cate 3 patrate si urcam in sus pe lungime pana la 5 metri deci cate 3 patrate de 5 ori); putem pune orice dimensiuni, poti vizualiza tabla de sah sa-ti faci o idee.

Bazele oricum sunt egale între ele ca și înălțimile deci dacă am lua-o așa am da factor comun toată formula ariei și în paranteză am obține numere de 1 adunate de un infinit de ori. Dar nu e nevoie să facem așa ceva căci cum am învățat din înmulțite 1+1+...+1 de n ori este de fapt n. Înălțimea triunghiului nostru este raza cercului iar baza se scrie având în vedere că e triunghi isoscel ca 2* înălțime * tangenta unghiului la vârf/ 2. Numai explic cum am ajuns la formulă. Pentru formulă ne uirăm doar în triunghiul determinat de o latură, jumătate din bază și înălțime. Acum înlocuim în formula ariei expresia și obținem (2*h*tg(alpha/2)*h)/2 = h^2*tg(alpha/2)...Alpha am denumit unghiul respectiv, h înălțimea. Toate unghiuril sunt egale de la fiecare triunghi iar împreună formează 360 grade deci alpha=2 pi / n (adică am împărțit la numărul de unghiuri care tinde la infinit, deci n tinde la infinit). Rezultata ariei unui triunghi este h^2*tg(pi/n). Având aici n triunghiuri înmulțim aria unuia cu n. Deci Aria totală aproximată= n*h^2*tg(pi/n) cu n tinde la infinit. Acum calculezi limita. Și de aici ar trebui să iasă cumva formula, e caz de nedeterminare și se calculează.

Simplu. In cazul cercului, y=sqrt(r^2-x^2). Asta inseamna ca aria = integrala sqrt(r^2-x^2)dx. Daca trecem in coordonate polare, vom avea x=r*cos(alpha), iar dx=-r*sin(alpha). Asta inseamna ca aria = integrala sqrt(r^2-r^2*cos^2(alpha))*(-rsin(alpha)) d(alpha) = integrala sqrt(r^2sin^2(alpha))*(-r*sin(alpha)) d(alpha) = integrala r*sin(alpha)*(-r*sin(alpha)) d(alpha) = -r^2 integrala sin^2(alpha) d(alpha) = -r^2 integrala 1/2* (1-cos(2*alpha)) d(alpha) = -1/2*r^2 integrala (1-cos(2*alpha)) d(alpha) = -1/2*r^2 * [ alpha- 1/2 sin(2*alpha) ]
Inapoi in coordonate carteziene:
1/4 *arie = -1/2r^2[cos^(-1)(x/r)-1/2sin(2cos^-2(x/r))]^r = -1/2*r^2[0-(pi/2-1/2*sin(2*pi/2))] = -1/2*r^2*(-pi/2) = pi/4*r^2
Deci 1/4*arie = pi/4*r^2 /*4
Adica arie = pi*r^2
La fel se procedeaza si in cazul dreptunghiului.

Mda, sau poti fara a trece nimic in coordonate polare.
Pur si simplu calculezi integrala de la 0 la r pentru y=sqrt(r^2-x^2), iar asta ar fi echivalent cu aria unei patrimi de cerc.
Si da, poti calcula aria dreptunghiul similar, integrand o functie f(x)=c, unde "c" e o constanta.
Insa cred ca oamenii si-ai dat seama care e aria dreptunghiului cu mult timp inainte de Newton si de calculul integral, as putea spune din timpuri stravechi. Asa ca trebuie sa existe o metoda mai simpla. Nu are sens sa reinventam roata.
Si daca iei o foaie de matematica, desenezi un dreptunghi si te gandesti cate patratele cuprinde ajungi repede la concluzia ca numarul total de patratele este egal cu produsul dintre numarul de patratele aflate pe cele doua laturi perpendiculare ale dreptunghiului. Spre exemplu daca pe o latura avem 4 patrate iar pe alta 10, numarul total de patratele e 4*10=40. E ca si cand ai spune ca aduni un numar de 4 patratele de 10 ori, sau invers: aduni un numar de 10 patratee de patru ori. Iar asta ramane valabil indiferent de cat de mici sunt patratelele initiale.
Pentru un numar infinit de patratele ce tind sa aiba dimensiuni punctiforme se obtine formula pentru aria dreptunghiului. Un dreptunghi cu latrurile a si b are aria aXb. Este echivalent cu a aduna de "b" ori un numar infinit de linii de lungime "a". Sau invers. Practic numai vorbim de patratele discrete, ci de un numar infinit de puncte ce alcatuiesc laturile "a" si "b".

Si asta era paralele pe care incercam sa o fac. Pentru ca si cercul poate fi despartit in discuri concentrice.
Un mod simplu de a calcula aria cercului este sa desparti cercul de raza r intr-o infinitate de discuri infinit de subtiri (practic perimetre de cercuri) ce variaza ca raza de la 0 (un punct) la r (chiar perimetru cercului initial), iar ulterior sa le aduni. Suma lor fiind echivalent cu aria întregului cerc.
Matematic ar veni: Integrala de la 0 la r din (2*pi*r)* dr=2*pi*r^2/2=pi*r^2 Super simplu.
Insa nici nu e nevoie sa cunoastem vreo formula de integrare. Se poate ajunge la rezultat si mai simplu.

Practic vrem sa adunam o infinitate de perimetre de cerc ce variaza ca raza de la 0 la r. Daca reprezentam fiecare perimetru de cerc pe un sistem ce are la abscisa "r" (valori ale razei), iar pe ordonata 2*pi*r (valoari ale perimetrelor in functie de raza) vom constata ca toate aceste perimetre impreuna descriu aria unui triunghi cu baza "r" si inaltimea "2*pi*r". Iar suma lor (aria cercului) este echivalenta cu aria acestui triunghi, care e r*2*pi*r/2=pi*r^2
Asta e cel mai simplu mod de a afla raspunsul folosint calcul integral.