Ceva interesant legat de numerele impare. Şirul acestor numere, îl ştie toată lumea, este:
1 3 5 7 9 11 ş.a.m.d.
Dacă adunăm primii doi termeni ai şirului obţinem 4. Dacă la acest rezultat adăugăm următorul termen al şirului, obţinem 9. Dacă la acest nou rezultat adăugăm următorul termen al şirului, obţinem 16. Dacă la acesta adăugăm pe următorul, obţinem 25. La următoarea mişcare obţinem 36.
Noul şir care s-a format este: 4; 9; 16; 25; 36...adică pătratele numerelor naturale. Care să fie explicaţia? Este o coincidenţă? N-aş crede. Nu am continuat operaţiunea, dar presupun că tot pătrate se vor obţine şi după aceste câteva adunări făcute mai sus.
Sau, daca nu ai treaba cu progresiile aritmetice, iti poti da seama foarte simplu ca, atat timp cat cunosti ultimul termen al sirului poti afla cati termeni are el.
Spre exemplu:
Daca ultimul termen este 7, atunci sirul are 4 termeni: 1, 3, 5 si 7.
Putem calcula numarul de termeni adunand "1" la ultimul termen si impartind rezultatul la 2.
Daca ultimul termen este 11, atunci numarul total de termeni va fi n=(11+1)/2=6.
Pentru cazul general, daca stim ca ultimul termen este "an" putem afla numarul total de termeni "n" ca fiind:
1.) n=(an+1)/2
O alta observatie este ca, daca adunam primul cu ultimul termen, al doilea cu penultimul termen si tot asa, obtinem acelasi rezultat.
De exemplu, la sirul dat de tine: 1; 3; 5; 11
1+11=12
3+5=12
Nu numai ca obtinem acelasi rezultat, dar numarul obtinut este chiar ultimul termen al sirului la care adunam 1.
Pentru cazul general: 1; 2; 3;... an, valoare unei perechi de termeni va fi:
2.) an+1
Daca adunam toate aceste perechi intre ele obtinem valoarea sumei tuturor termenilor.
Din moment ce am grupat termenii in perechi de doua numere este evident ca numarul perechilor va fi jumatate din numarul total al termenilor. Adica "n/2".
Numarul total al termenilor "n" l-am calculat mai sus ca fiind:
1.) n=(an+1)/2
Inlocuind obtinem ca numarul de perechi este:
3.) (an+1)/4
Iar valoarea unei perechi am aflat ca este:
2.) an+1
Stim ca daca adunam toate aceste perechi intre ele obtinem valoarea sumei tuturor termenilor.
Deci, inmultind pe (2) cu (3) obtinem ca:
S= (an+1) * (an+1)/4
S=[(an+1)/2]^2=n^2
unde "an" este ultimul termen al sirului.
Răspunde
Ordonare:
Cronologică
Răspunde
Chestia cu coincidenţa am zis-o şi eu aşa... Nu, nu există coincidenţe în matematică. Dacă medianele într-un triunghi se întâlnesc în acelaşi punct este o coincidenţă? Bineînţeles că nu. Sau înălţimile. Totul se demonstrează.
Lol. Pe o hartie cu patratele: dintr-un patrat cu latura 1 cum faci un patrat cu latura 2? Adaugi un patratel sus, unul la dreapta si inca un patratel in colt. Din patrat cu latura n cum faci un patrat cu latura n+1? Adaugi latura in dreapta, adaugi latura sus si mai adaugi un patratel. Astfel e demonstrat ca diferenta dintre (n+1)^2 si n^2 este 2n+1.
Vorbesti despre suma unei progresii aritmetice ce are primul termen egal cu 1, iar ratia 2.
https://ibb.co/JrxfMWv
Suma unei progresii aritmetice poate fi calculata cu relatia:
S=(a1+an)*n/2
"a1" este primul termen.
"an" este ultimul termen
"n" este numarul total de termeni.
In cazul nostru:
(1). S=(1+an)*n/2
an=a1+(n-1)*r
Unde "r" este ratia, iar "n" este numarul total de termeni.
In cazul nostru a1=1, iar r=2.
Deci:
(2). an=2n-1
Din (1) si (2) rezulta ca:
S=n^2
Daca aduni "n" numere pare consecutive, incepand cu 1, rezultatul va fi "n^2".
Cea mai simpla demonstratie e prin a observa că avem aici pentru un k întreg între 1 și n sumă de 2k-1, care e același lucru ca 2× (sumă de k) -sumă de 1 =2×(n(n+1)/2)-n =n^2+n-n=n^2.
Toate răspunsurile au fost foarte bune. Al lui Inferno aş zice că a fost cel mai... pedagogic.
Sumă de 2k-1, cu k luând valori de la 1 la n ar fi mai standar exprimat. O sumă generală sigma mare, nu am cum să o scriu ca simbol, TPU nu are interpretor pentru notații matematice și nici măcar liere grecești nu acceptă.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
