Cunoscand produsul si suma a doua numere se poate determina valoarea acestora apeland la ecuatia de gradul 2. Unde exista cateva formule de rezolvare:
https://www.matera.ro/......ul_doi.png

Intrebare:
Cunoscand produsul si suma a doua numere cum puteti afla valoarea acestora fara a folosi ecuatia de gradul doi si formulele consacrate acesteia? Sa presupunem ca nu ati vazut in viata voastra formulele de mai sus, cum puteti rezolva o asemeena problema?

Spre exemplu:
a*b=10
a+b=7

P.S:
Modul clasic de rezolvare ar fi:
Din a doua relatie obtinem b=7-a
Inlocuim valoarea lui "b" in prima relatie si obtinem:
a*(7-a)=10
a^2-7a+10=0 - ecuatia de gradul II.
Aplciand formulele se obtine valoarea lui a=2 sau a=5
De unde rezulta ca b poate fi 5 sau 2.

Cu alte cuvinte cele doua numere sunt 5 si 2.

Cauţi două numere care adunate să dea suma dată, iar înmulţite să dea produsul dat. În cazul concret, ce numere adunate dau 7 şi înmulţite dau 10? Evident, 5 şi 2.

Așa deștept tu? Dacă îți dau suma și produsul a oricare doua numere reușești să îmi spui care sunt numerele?

Crezi că există un raționament matematic prin care sa ajungi la raspuns, fara a folosi ecuația de gradul 2?

Îți dau un indiciu: are legătură cu a exprima ambele numere în funcție de o valoare comuna.

Sublim. Dar asta inseamnca ca putem oricand rezolva orice ecuatie de gradul II daca din intamplare am uitat formulele pentru delta si radacini.

Daca o ecuatie de gradul al doilea, ax^2+bx+c=0, are solutiile "m" si "n" atunci va exista mereu o alta ecuatie, diferita ca forma, dar cu aceleasi solutii si anume:
(x-m)(x-n)=0
Evident x=m si x=n sunt solutii ale relatiei de mai sus.
Desfacand parantezele obtinem:
x^-x(n+m)+mine=0

Daca rescriem prima ecuatie in forma ei canonica si identificam termenii se constata ca:
S=-b/a si P=c/a
Relatiile lui Viete.

Iar, din moment ce un sistem format din suma si produsul a 2-numere poate fi rezolvat atat de usor, inseamna ca si ecuatia de gradul II poate fi rezolvata fara a cunoaste vreo formula anume.

De fapt, in Germania, daca nu ma insel, este predata o asemenea rezolvare alternativa, infinit mai intuitiva, pentru ecuatia de gradul al 2-lea.

Crezi ca la fel a ajuns si Brahmagupta la relatiile sale de calcul?

Nu ştiu la ce relaţii faci referire.

La astea:
https://www.matera.ro/......ul_doi.png

Nu ştiu dacă aşa a ajuns el, dar asta ar fi o cale de ajuns. Plecând de la concluziile pe care le-ai menţionat tu mai sus, că (x1 + x2) = -b/a şi x1.x2 = c/a, trecem la aflarea diferenţei (x1 - x2), cum am făcut mai sus.
(x1 - x2)^2 = b^2/a^2 - 4c/a = (b^2 - 4ac)/a^2, de unde
(x1 - x2) = [rad.(b^2 - 4ac)]/a. Combinăm cu suma
(x1 + x2) = b/a şi aflăm rădăcinile. Adunând ecuaţiile obţinem pe x1 şi scăzându-le obţinem pe x2. Pentru simplificare ei au notat cu Delta expresia (b^2 - 4ac)