Este normal să introducem infinitul în raționamentele matematice?
https://www.youtube.com/watch?v=LWPOlZBXtD8
În cartea sa "Dialoguri despre știința nouă" Galilei se întreba cum se poate explica faptul că mulțimea numerelor care sunt pătrate perfecte: 0, 1, 4, 9, 16, ... deși reprezintă numai o parte din mulțimea numerelor naturale, este și ea infinită.
Chiar, cum se poate explica? Știu despre teoria cu corespondența termenilor, element cu element. Și știu și că o mulțime infinită are proprietatea că o parte a ei este egală cu întregul - în limbaj mai modern se spune că sunt "mulțimi cu aceeași putere". Dar, mai înainte de a răspunde la întrebarea lui Galilei și la oricare alta asemănătoare, ne-am putea întreba dacă este corect să se introducă infinitul, o noțiune pe care nu o înțelege nimeni, în raționamentele matematice. Știm cum este și cu paradoxurile lui Zenon (Ahile și broasca țestoasă și celelalte), la care raționamentul pur și simplu se blochează tocmai pentru că se tratează și acolo cu infinitul - se pune acolo problema divizării spațiului și timpului la infinit.
Problema infinitului i-a preocupat pe matematicieni și pe filosofi în toate timpurile. Bernard Bolzano, de exemplu, matematician și filosof renumit, a scris o carte interesantă: "Paradoxurile infinitului", în care dă multe exemple de genul celor ale lui Zenon.
Pe la începutul sec al XIX-lea, Gauss scria unui prieten și își arăta îngrijorarea față de încercările de a se introduce în raționamentele matematice infinitul, alături de mărimea finită - "Infinitul este numai un fel de a vorbi" a scris el; și a adăugat că omul finit nu trebuie să facă greșeala de a privi infinitul ca pe ceva limitat.
Când Richard Dedecind a dat o definiție mulțimii infinite, toată lumea a aplaudat, apreciind definiția ca fiind genială. "Un sistem S" - spune această definiție - "este infinit dacă este de aceeași putere cu o parte proprie a sa. În caz contrar, S este un sistem finit". Eu nu văd nicio genialitate aici, dar poate mă înșel.
Cum vedeți îndrăzneala asta a omului de a depăna infinitul? Se văd aici semnele prevestitoare zborului cosmic? Omului finit, ca să reiau cuvintele lui Gauss, nu-i mai ajunge planeta pe care trăiește și e însetat de spațiul infinit? vrea să contemple Pământul de pe Lună, de pe Marte și, dacă va fi posibil, chiar mai de departe?

Pentru antici infinitul está pacat, doar Finismul este virtute.

Teoría inconmensurabilelor este sa contrazica Teoría Proportiilor. Aia cu incomensurabilele spun ca nu exista proportii, ca universul nu este rational si ca nu putem avea o gandire matemática care calculeaza si standardizeaza.

Aveau o matemática bazata nu pe algoritme ci pe formule inchise. Nu ii interesa numerele mari. Cifrele hindu-arabe sunt introduse ca sa te axfisieze. Anticii aveau numeré putine si gandire multa. Apeiron si CRESTEREA NUMERELOR este pacat pentru ca mareaste algoritmul. Nu poti sa cresti si sa diminui.

Vezi: Weierstrass, Cantor, Dede-k-ind despre Continul Matemátic.

Daca aleg un numar, sa spunem ca 4.
Il impart la 2, obtin 2. Il impart iar la 2, obtin 1. Daca repet procesul, care este valoarea spre care ma apropi dar pe care nu o pot depasi? Este 0.

Daca alegem numarul 1.Adun 1, voi obtine 2. Adun iar 1, obtin 3. Si asa mai departe.
Aceeasi intrebare: Care este valoarea spre care ma apropi dar pe care nu o pot depasi? Raspuns: Nu exista una/ sirul tinde la infinit.
Infinitul este doar modul in care semnalezi ca anumite procese nu au o limita finita.

Daca numeri din 1 in 1, daca numeri din 2 in 2, sau daca numeri doar patratele perfecte, oricum ai numara, nu exista un plafon superior care sa te limiteze si pe care sa nu il poti depasi. Care ar fi acela?
Si cum nu exista un asemenea plafon ambele siruri tind la nesfarsit sau la infinit.

"Chiar, cum se poate explica?"
Pai ce e de explicat?
Ti se pare ca sirul patratele perfecte ar avea vreo limita superioara pe care nu o poti depasi? Daca nu, atunci esti de acord ca tinde la infinit. La fel ca sirul numerelor naturale.
"Infinit" este doar un mod pompos de a spune: "nu exista o limita finita". Afirmatie cu care presupun ca esti de acord.


Nu vad nimic abstract si de neinteles aici. Daca incepi sa numeri pana la final, la un moment dat ai sa te prinzi ca nu exista un final. In momentul acela ai inteles "infinitul".
In momentul in care intelegi ca orice numar ai scrie pe foaie, oricat de mare ar fi, mai poti pune un 0 la coada si sa creezi un numar si mai mare, in acel moment ai o intelegere foarte buna a infinitului.

Legat de paradoxul lui Zenon. Mereu am considerat ca nu este un paradox real.
Pentru a parcurge orice distanta "D", intai trebuie sa parcurgi jumatate din ea, dupa jumatate din distanta ramasa si tot asa.
Logica lui Zenon era ca din moment ce ai un numar infinit de distante pe care trebuie sa le parcurgi nu ajungi niciodata la destinatie.
Dar acest lucru este fals, pentru ca suma acelor distante (desi un numar infint de bucati) are ca rezultate distanta initiala "D". Ceea ce inseamna ca parcurgi distanta totala "D" si ajungi in final la destinatie.
Putem sa aplicam un rationament similar si pentru timpul necesar pentru a parcurge distanta. Desi, sunt o infinitate de perioade de timp, suma lor va fi o valoarea finita. Un timp finit si o distanta finit.

Aparent problema e rezolvata. Putem parcurge intreaga distanta "D".
Cu toate acestea, exista un paradox. Si devine evident intr-o versiune modificata a paradoxului original. Sa ne imaginam ca avem o lanterna cu noi. Prima jumatate de drum o parcurgem cu lanterna pornita. A doua jumatate cu lanterna oprita. Urmatoarea bucata cu lanterna pornita, si tot asa, alternand starea lanternei.
Cand ajungem la destinatie, laterna va fi pornita sau oprita?

Iar raspunsul pare sa fie ca nu va fi nici pornita, nici oprita pentru ca este un proces infinit si nu exista o stare finala. Numai ca daca asa stau lucrurile inseamna ca nu putem sa parcurgem distanta "D" in totalitate, din moment ce nu atingem niciodata o stare finala de repaus.