Intr-un oras se fac alegeri pentru primar (sa zicem). Sunt trei candidati: A, B si C. Sunt 21000 de alegatori. Pentru simplificare am sa scriu 21 in loc de 21000, 5 in loc de 5000 samd. Fiecare alegator trebuie sa-si exprime, in ordine, preferintele. Rezultatul: 2 alegatori prefera ierarhia A B C; 6 alegatori prefera A C B; 2 alegatori prefera B A C; 5 alegatori prefera B C A; 2 alegatori prefera C A B; 4 alegatori prefera C B A. In total 21 de alegatori. Aplicand regula majoritatii, observam ca A este indicat (pe primul loc) de 8 alegatori, B de 7 alegatori si C de 6 alegatori. Deci A castiga alegerile, iar C este pe ultimul loc. La o examinare mai atenta, vedem insa ca 10 alegatori il pun pe A inaintea lui B si 11 il prefera pe B lui A. Cu alte cuvinte, A este surclasat de B in preferintele intime ale alegatorilor. Situatia se complica daca examinam perechea A, C. Vedem ca C este preferat lui A de 11 alegatori si A lui C de numai 10 alegatori. Continuand, gasim ca C este preferat lui B de 12 alegatori, iar B lui C numai de 9 alegatori. Ierarhia pe care o obtinem este rasturnata: in loc de A B C ajungem la C B A. Regula majoritatii a scos castigator candidatul aflat in realitate pe ultimul loc al preferintelor alegatorilor. Un rezultat paradoxal.
Am dat acest exemplu pentru a va cere parerea. Si intrebarea este: exista o metoda de sintetizare a ierarhiilor care sa reziste tuturor criticilor si care sa nu dea nastere la paradoxuri?

Exemplul tau este foarte gresit, avand in vedere ca sunt valabile doar voturile exprimate pentru un singur candidat, celelalte sunt voturi nule, asa ca n-ar fi luate in considerare pentru stabilirea rezultatului.
Fata de aceasta este ales candidatul care obtine cele mai multe voturi valabile si aceasta este singura metoda corecta.

Stiu ce zici. Exemplul l-am dat mai mult din motive istorice. Situatia cu care suntem confruntati este de un tip mult mai general si anume se refera la o alegere multi-criteriala. Candidatii sunt obiecte de ierarhizat, iar alegatorii sunt criterii de ierarhizare. Deciziile de grup sunt exact de acest tip; majoritatea deciziilor economice sunt multicriteriale. Sa zicem ca este vorba de achizitionarea unor utilaje, care trebuie apreciate din mai multe puncte de vedere. Fiecare criteriu induce o ierarhie a ofertelor disponibile la un moment dat. Care este totusi cel mai bun utilaj? De fapt, la orice optiune noi facem proza fara sa stim; deciziile zilnice ale fiecaruia din noi sunt multicriteriale. Ca sa nu mai vorbim de problema clasamentelor sportive anuale, cand fiecare ziarist, fiecare antrenor si fiecare specialist in fotbal indica o ierarhie. Revista de specialitate trebuie sa le sintetizeze pana la o unica ierarhie. Si, dupa cum s-a putut vedea mai sus, regula majoritatii va conduce in mod inevitabil la paradox.

Regula maoritatii nu conduce la paradox, rationamentul tau conduce la paradox.
Este adevarat ca, la multe alegeri, luam in considerare mai multe criterii, inclusiv comparam mai multe variante, cu avantajele si dezavantajele fiecaruia, dar nu asa cum rationezi tu.

Mai sunt si alte pareri? Am spus ca am plasat discutia in cadrul electoral din motive istorice. Trebuia sa mentionez asta in intrebare. Stiam ce s-a intamplat in timpul Revolutiei Franceze, cand Franta isi formula primele sale constitutii democratice. Stiu si ca metoda majoritatii nu este singura. S-au propus si s-au incercat multe altele. Am dat exemplul acela fictiv, doar pentru ca mi s-a parut mai usor de urmarit rezultatul la care poate duce regula majoritatii. Putem merge in oricare domeniu - economic, sportiv etc. Cum stabilim, de exemplu, cel mai bun sportiv al anului? Sau orice altceva de genul.

Uite, de exemplu, putem contribui la alegerea lui Avram Iancu ca "Man of the Year" :) eu l-am votat!
https://www.worldopenwaterswimmingassociation.com/......-nominees/
5. Avram Iancu (Romania)
Avram Iancu wanted to do something very special – he wanted to swim 2, 860 km across 10 European nations along the entire Danube River and four capital cities. He not only pushed himself longer than he ever imagined over the course of 89 days, but he also faced and overcame rougher and colder conditions than he ever thought possible. More importantly, he touched thousands of people in his humble manner who were inspired by his engaging personality, his humble manner, his visible strength of character, and the sheer physicality of his feat. The 41-year-old librarian graciously met local politicians and students; he spoke with celebrities and environmentalists; he swam with local people. For his 3-month promotion and celebration of the sport, for his minimalistic approach to stage swimming as he lived off the land without a large entourage or crew, for his personable approach to serving as a swimming ambassador throughout 11 European countries, Avram Iancu is a worthy nominee for the 2017 World Open Water Swimming Man of the Year.
Cat despre intrebarea ta, e zapacitoare! chiar credeam ca ai o dilema electorala :)

Exista doua modalitati de rezolvare.
1. Consideram ca fiecare alegator are voie sa aleaga doar 1 primar, fara sa mai fie luate in considerare restul preferintelor. In acest caz, A castiga - dupa cum ai spus.
2. Consideram top 3 preferinte pentru fiecare alegator. Atunci acordam puncte fiecarei preferinte, si vedem cine castiga ponderand scorurile. Spre exemplu, sa spunem ca locul 1 ia 10 puncte, locul 2 ia 5 puncte si locul 3 ia 3 puncte. Atunci avem:
A: 127 puncte
B: 128 puncte
C: 127 puncte
Deci castiga B. Totul tine de modul de acordare a punctajelor... Cand intervine egalitate se poate alege un criteriu de departajare (exp: cel care a luat de cele mai multe ori primul loc).

E, începem să mai venim de-acasă. Oamenii s-au împotmolit la faptul că în prezent metoda de alegere e alta, fără a observa că şi aceea are dezavantaje şi slăbiciuni. Aşa cum spuneam, s-au încercat (şi se încearcă) multe alte metode, între care şi asta de care spui tu. Şi nu mă refer doar la sistemul electoral, ci la alegerile multicriteriale în general. Eu cred că în ciuda numărului mare de metode propuse, problema sintetizării ierarhiilor nu este rezolvată. Toate metodele sunt criticabile (şi criticate). Dacă aplicăm mai multe metode unei probleme, obţinem de cele mai multe ori atâtea soluţii câte metode am folosit.