Nu este tema.

Incercand sa aproximeze inaltimea unui deal, Gigel a gasit urmatoarea solutie:
Nu are nevoie de instrumente de masura sofisticate, ci doar de roata de la caruta, pe care o va rostogoli incet si cu grija, de la baza dealului pana in varf.

Apoi, aplicand notiuni elementare de matematica va incerca sa aproximeze inaltimea.

Gigel a aproximat diametrul rotii ca fiind de 1 metru, iar in urma masuratorilor facute a constatat ca aceasta realizeaza 3 rotatii complete pentru a parcurge intreaga distanta, de la baza pana in varf.
Care credeti ca este inaltimea dealului?

(Dealul va fi considerat un semicerc perfect. )

Si-avia mersuuu, leganatuuu, la, lalalala
diefazat cu pii pie patru, la, lalalala

Cred ca a fost Dorel (nu Gigel) si acesta a masurat doar lungimea pantei, nu inaltimea dealului.
Lungimea pantei a fost de 3, 14 x 3 = 9, 42 m.
Doar daca inaltimea dealului este o cateta a unui triunghi dreptunghic cu catetele egale se poate calcula inaltimea cu teorema lui Pitagora si va fi de cca 6, 66 m.

Bietul Dorel a demontat roata de la caruta, i-a aproximat diametrul, a carat-o pana la movila perfecta a urcat-o in varf, apoi a rotit-o la vale numarand rotatiile, apoi a stat sa calculeze cu 3, 14.
Precis era inginer.
Un om normal la cap ar fi folosit un baț, o bucata de sfoara, metoda umbrei, metoda creionului, etc.

Revin cu o observatie: dealul nu poate fi considerat un SEMICERC (acesta apartine geometriei plane) ci o figura geometrica in spatiu, probabil o semisfera.

De dragul problemei consideram dealul o semisfera.
Daca sectionam dealul in lungul drumului parcurs de Gigel, sectiuena va fi un semicerc.


Distanta parcursa de Gigel nu este o linie dreapta, este un arc de cerc. Din moment ce cunoastem ca dealul are forma unei semisfere perfecte putem spune ca acest arc de cerc este chiar 1/4 din circumferinta cercului.
Inaltime dealului fiind raza acestui cerc.

https://postimg.cc/QFbK4bVN

Deci, punctul de la baza roţii ar descrie o epicicloidă

Asa este daca dealul este o semisfera, doar ca in practica nu este adevarat.

Care crezi ca este raspunsul in cazul asta ideal, in care dealul este o semisfera?

Da. Nu cred oricum ca este relevant.

Un răspuns "at a glance" ar fi şase metri.

Daca intuitia noastra este corecta ar trebui sa fie 6 metri.
Problema este ca inaltimea reala a acestui deal fictiv este de 5, 5 metri.

Cum ai calculat? Unde este eroarea?

In acest caz inaltimea ar fi egala cu 6 m.

Raspunsul corect este 5, 5 metri.

Problema de clasa a 2 -a clasa cu dizabilitati intelectuale. Care este raza cercului cand cunoastem circumferinta.
Ar fi fost mai interesant daca il puneai pe Gigel sa construiasca cu un compas improvizat din doua bete un pătrat care să aibă aceeași arie cu cea a cercului rotii de la caruta.
Am fi trecut direct la clasa a 4-a.

Daca este asa cum sustii atunci chiar si tu ar trebui sa poti raspunde corect. Care este deci inaltimea dealului?

Cred că eroarea vine de la faptul că roata nu îşi începe rostogolirea (pe semicercul dealului) de la nivelul solului.

Este buna observatia ta, dar nu asta e motivul. Poti considera ca roata isi incepe rostogolirea de la nivelul solului.

Modul in care Gigel a "rezolvat" problema este urmatorul:

Roata de la caruta are diametrul de 1 metru, ceea ce inseamna ca perimetrul ei este egal cu π.
Din moment ce roata a realizat exact trei rotatii complete pentru a parcurge distanta dintre baza si varful dealului putem spune ca distanta totala parcursa este egala cu 3π.
Dealul are forma de semisfera, ceea ce inseamna ca distanta parcursa este 1/4 din circumferinta cercului, circumferinta care este efala cu 4 * 3π = 12π.

Cunoastem circumferinta, putem afla raza cercului care este tot una cu inaltiema dealului. R=H=6 metri.

Din pacate exista o problema cu rationamentul lui Gigel.

Eu zisesem aşa: 3*pi*d = pi/2*R -> 3 = R/2
Presupun însă că nu numai în raţionamentul lui Gigel e ceva greşit, ci şi în al meu

Exista chiar mai multe probleme cu rationamentul lui Gigel zis si Pacala.
Ar fi putut sa masoare inaltimea movilei (deal este altceva) mult mai simplu cu alte metode.
Dar el s-a incapatanat sa foloseasca o roata de caruta de 100kg fara sa-si dea seama ca este nevoie de echipament de alpinist pentru asa ceva.
Legile fizicii sunt mai grele decat geometria plana pentru Gigel.
Gigel nu stie cum se masoara cu roata, probabil ca nu a folosit in viata lui asa ceva.In afara faptului ca a folosit o roata cu diametrul prea mare trebuia sa faca un semn pe roata unde incepe semicercul, imaginar sau prin prelungirea razei cu un bat.
S-a complicat inutil. distanta totala parcursa este egala cu 3π - lungimea arcului de cerc unde roata nu a atins movila in partea de jos, la ochi 0, 5m.

Nu cred că trebuie pusă problema aşa (că s-a complicat sau că s-a încăpăţânat). Problemele de matematică nu au întotdeauna legătură cu realitatea de pe teren. N-o să vedem niciodată un deal (sau o movilă) perfect sferic, de exemplu. Cu toate astea, astfel de probleme au frumuseţea şi valoarea lor.

Https://en.m.wikipedia.org/wiki/Coin_rotation_paradox

Interesant! Prin ce calcul se ajunge la R = 5, 5?

Ideea este ca la o rotatie completa in jurul cercului mare, cercul mic mai realizeaza o rotatie completa suplimentara in jurul propriului centru pe langa numarul de turatii pe care le-ai calcula prin raportul perimetrelor.

Relatia este:
nr de rotatii compelte = perimetru cerc mare/ perimetru cerc mic +1




In cazul nostru roata a realizat 3 rotatii complete, insa 1/4 din aceste rotatii se datoreaza faptului ca roata s-a rotit cu 90 de grade in jurul dealului.
Doar (3-1/4)=11/4 din rotatiile complete provin din parcurgerea efectiva a distantei.

Ceea ce inseamna lungimea reala a coamei este 11/4 * π.

Vorbim de un cerc cu perimetrul 11π si cu raza 5, 5 metri.

Apropo, cand am incercat sa imi explic fenomenul mi-am imaginat doua patrate identice: unul fix si altul ce se roteste in jurul sau. Intr-adevar, patratul ce se roteste trebuie sa realizeze doua rotatii complete pentru a ajunge de unde a pornit.
Crescand progresiv numarul de laturi ale poligonului si repeatand experimentul imaginat reusim sa capatam un fel de intelegere intuitiva.

Eram satisfacut, pana cand un prieten a sesizat urmatoarea diferenta.

Vopsim perimetrul monedei fixe.
Dupa ce rotim o a doua moneda in jurul ei, doar jumatate din distanta (180°), moneda va parcurge o rotatie completa, iar intregul perimetru al ei se va murdari de vopsea. Cel putin asa pare.

Daca incerci acelasi lucru cu doua poligoane, indiferent de numarul de laturi, doar jumatate din perimetrul poligonului ce se roteste va fi murdarit de vopsea.

Am urmărit raţionamentul până la un punct şi apoi m-am pierdut. Dar o să-l reiau, pentru că mi se pare interesant. Între timp, îţi dau şi eu o temă de gândire.
Spuneam mai sus că roata nu-şi începe rostogolirea pe semicerc de la nivelul solului. De ce? Pentru că punctul iniţial de contact nu este pe sol, ci puţin mai sus. Unde, mai exact? Se poate identifica poziţia lui? Adică, distanţa de la el la sol; sau unghiul la centru sau lungimea arcului respectiv. Şi, generalizând, când două cercuri de raze diferite se întâlnesc, cum aflăm distanţa de la punctul de contact la suprafaţa plană pe care se află cercurile?

Https://im.ge/i/2NQHr

Doua cercuri cu centrul "O1" si respectiv "O2" sprijina pe o tangenta comuna.

Vrem sa aflam dreapta PG, unde "P" e punctul de intersectie intre cele doua cercuri. Tot ce cunoastem este raza cercurilor: r1 si r2

O1, P si O2 sunt puncte coliniare, iar lungimea dreptei O1O2 este cunoscuta. Reprezinta suma razelor celor doua cercuri. r1+r2

AO1 este o alta dreapta cunoscuta. Este diferenta celor doua raze. r2-r1

Triunghiul PBO2 este asemenea cu O1O2A, ceea ce inseamna ca:

BP/AO1=O2P/O2O1

BP/(r2-r1)=r2/(r1+r2)

De aici putem afla lungimea lui BP. BP=r2/(r1+r2)* (r2-r1)

PG=BG-BP, iar BG=r2.

Deci PG=r2-r2/(r1+r2)* (r2-r1)

Nota 10

Acelaşi raţionament presupun că se poate aplica şi la problema noastră, cu roata şi dealul, pentru a afla distanţa între acel punct de contact şi nivelul solului.