O intrebare cu raspuns neasteptat...
Am doua monede circulare de dimensiuni diferite: perimetrul uneia este de trei ori mai mic decat al celeilalte. Le asez una langa alta si cu grija rotesc moneda mai mica in jurul monedei mai mari. Cate rotatii complete va efectua aceasta pentru a ajunge in pozitia initiala?

3 rotatii. Motiv: daca ne imaginam ca perimetrul este o linie si nu un cerc, atunci perimetrul mic incape de 3 ori in perimetrul mare.
Si este "va" in loc de "v-a" - ca regula simpla incearca sa retii ca "v-a" se aplica doar atunci cand de este vorba despre mai multe persoane sau obiecte (ex: El v-a chemat / Mecanicul v-a efectuat reparatia), iar "va" se foloseste pentru a exprima viitorul (ex: Moneda va efectua 3 rotatii)

În cazul ăsta problema poate fi înșelătoare din pricina faptului că traiectoria pe care o urmează conform monedei mari e circulară. Adică nu e cum s-ar roti singură stând pe loc sau pe o dreaptă(linie cum zici tu), ea se rotește urmând o traiectorie circulară. Să zicem că marchezi punctul de pe moneda mică care se intersectează cu moneda mare de unde începi să rotești moneda cu un marker. După ce moneda se va roti 1 dată, punctul tău marcat pe monedă încă nu va ajunge să atingă iar linia monedei mari dar acesta își va păstra poziția, adică dacă unești punctul marcat cu originea, dreapta formată de cele 2 va rămâne perpendiculară cu abscisa chiar dacă nu intersectează încă cercul mare. Moneda a revenit la poziția ei inițială mai repede decât era de așteptat deoarece în timp ce face o rotație în jurul propriului centru ea mai face o rotație în jurul centrului monedei mari pe traiectoria acesteia. Noi prima oară tindem să asociem momentul unei rotații când punctul marcat atinge iar cercul însă poziția sa se schimbă sau tindem să nu ținem cont de traiectorie care influențează rotația monedei. În cazul ăsta ea desfășoară 1 rotație la un sfert din lungimea cercului mare deci se rotește de 4 ori.

Eram sigur ca e bait . Din punctul meu de vedere, un raspuns pur matematic ar fi in continuare 3, dar daca implicam un pic de fizica si lumea reala, este intr-adevar 4. Aparent nu pot da jos din pod matemetica din liceu ca sa-ti inteleg descrierea, dar cea mai clara explicatie pe care am gasit-o este ca cercul mic nu descrie circumferinta cercului mare atunci cand se roteste, ci o alta (trasata de propriul centru), iar prin urmare rezultatul este intodeauna (r + R)/r = 1 + R/r - in cazul nostu 1 + 3 = 4 - si in cazul general 1 + N.

Da, o remarcă foarte bună și interesantă, și ai dreptate. Matematica de liceu nu are treabă, ea te învață bine lungimea cercului, dar asta e o remarcă ce trebuie să o faci tu, o remarcă tot matematică. Și eu eram tentat să zic asta însă formularea "raspuns neasteptat" m-a pus pe gânduri. Fenomenul ăsta se întâmplă la cercuri de orice lungime, e de ajuns să observi practic luând 2 monede de 10 sau 50 de bani de exemplu și încerci. Având lungimi egale una dintre ele va efectua 2 rotații, nu una.

Imi plac problemele tale.
Lungimea cercului mare este 2πr
Lungimea cercului mic este 2πr/3 deci raza cercului mic (o vom numi r2) este 3/2π
Raza cercului mare este r1

Cercul mic nu parcurge distanta 2πr pentru ca miscam centrul cercului. Deci distanta parcursa este un cerc cu raza cercului mic + raza cercului mare.
Raza cercului parcurs inseamna ca este r1+r2 iar lungimea este 2π(r1+r2)
Acum impartim lungimea cercului parcurs la lungimea cercului mic
2π(r1+r2)/2πr2 = (r1+r2)/r2
Deci daca ai sti razele asta ar fi formula folosita pentru a calcula raspunsul la intrebarea ta.
Stim ca:
r2 = 3/2π
Inlocuim in formula (redenumim r1 in r):
(r+3/2π)/3/2π =
[2π(r+3/2π)]/3 =
(2πr + 3)/3
Deci daca stii raza cercului mare poti calcula distanta pe care o parcurge un cerc cu lungimea de 3 ori mai mica folosind formula de mai sus.

Https://ro.wikipedia.org/wiki/Epicicloid%C4%83

"deci raza cercului mic (o vom numi r2) este 3/2π
Raza cercului mare este r1" -
Cum ai dedus ca raza cercului mic este 3/2pi?

"Lungimea cercului mic este 2πr/3 deci raza cercului mic (o vom numi r2) este 3/2π"
Știm că 2pi*r2=2pi*r1/3 deci r2=r1/3.
r2 poate lua orice valoare, de ce ar fi neapărat 3/2pi?

Haha sorry, nu am observat că ai întrebat și tu.

Am gresit partea aia. De obicei cand raspund pe TPU fac mai multe lucruri .

Prima parte e corecta (r1+r2)/r2

Uita sa incercam din nou.
In formula pentru lungimea cercului singura variabila este raza(r) deci daca lungimea cercului mic este de 3 ori mai mica => raza cercului mic este de 3 ori mai mica.
Deci acum stim ca r2 = r1/3

Deci daca bagam asta in formula mea
(r + r/3)/r/3 =
3(r + r/3)/r
(3r + r)/r
4r/r = 4
Deci raspunsul ar fi 4.
Mersi pentru raspuns (daca nu mi-ai fi raspuns nu as mai fi verificat odata ce am scris).

Da, am gresit eu cu chestia asta.
I-am raspuns lui ToT193, a intrebat acelasi lucru.
r2 trebuia sa fie r1/3 pentru ca e singura variabila in calucului lungimii.

In animatia din dreapta este prezentat exact cazul descris de intrebare. Un cerc cu raza 1 ce se roteste in jurul altuia cu raza de 3 ori mai mare.
Numai ca daca ma uit bine imi pare ca cercul acela face doar 3 rotatii complete, iar nu patru, asa cum am stabilit noi aici ca ar fi corect.

Cazul lui e exact despre ce vorbeam eu. Acel giff descrie momentul când punctul marcat în prealabil de noi atinge cercul mare însă nu e unul și același lucru cu o rotație completă. Gifful nu descrie o rotație completă ci momentul când punctul de start care intersectează cercul mare îl intersectează iar, ceea ce e într-adevăr de 3 ori însă a nu se confunda cu momentul de rotație complet al cercului mic ceea ce am specificat. Dacă oprești acel giff vei vedea că la fiecare moment din cele 3 cercul are altă poziție. Adică uite-te doar la punctul marcat cu roșu și la rază.

https://en.wikipedia.org/wiki/Epicycloid

Aici ai o figură mai clară. Prima oară raza care se unește cu punctul e orizontală iar după e oblică ceea ce înseamnă că cercul nu are aceeași poziție ca cea din start deci nu efectuează o rotație completă când atinge punctul, cercul mare.

Poziția 1) https://postimg.org/image/626h8etib/
Poziția 2) https://postimg.org/image/qb3s8qvzd/

Raza neavând aceeași poziție deci nici cercul nu are aceeași poziție cu cea inițială.

Da, e ceva mai clara poza din Wiki-engleza. Ar fi bine daca s-ar putea da cu incetinitorul animatii de felul asta.

Eu am dar printscreen și nu mi-a prins exact în momentul în care trebuie dar e pe aproape. Am încercat să fac unul și când face o rotație completă deci când raza are aceeași poziție ca poziția 1.

https://postimg.org/image/dv1vj1hxp/

Nu l-am prins exact însă se observă că atunci când atinge originea cercului mic ordonata face o rotație deci la un sfert din drum deci are 4 rotații. Deci ca să fie abjudecat pentru acest subiect, răspunsul pentru câte rotații complete face cercul mic e 4 iar răspunsul pentru de câte ori atinge punctul intersectat de la start cercul mare e 3. Sau uite, putem spune că orice punct de pe acel cerc mic atinge cercul mare de exact 3 ori.

Am încercat să fac niște printscreen dar nu am prins exact pe fază. Era bine dacă era ca pe Facebook ca la click să se oprească.

Da,asa este.

Cu cateva printscreenuri devine chiar evident ca e vorba de 4 rotatii:
http://imgur.com/a/JYqDy

Un lucru remarcabil la curbe de felul asta este si modul cum se exprima ecuatiile lor. Vezi cum e si cu epicicloida - nu poate fi pusa sub forma unei ecuatii de forma clasica y=f(x), ci fiecare din cele doua coordonate (x si y) sunt functii de o a treia variabila: unghiul.

Da, asta ar fi o consecință a faptului că singura variabilă a funcției respective este unghiul teta în funcție de care se și scrie funcția. Razele celor 2 cercuri care se folosesc pentru a exprima funcția sunt constante iar valoare unghiului variază la fiecare moment.
Expresia f(x)=y rămâne însă aici avem un f(teta)=y(funcție de teta). x și y nu mai sunt numere simple cum ne-a obișnuit liceul ci pot fi exprimate în radiani(unghiuri), secunde(timp), hertzi(frecvența) etc. Adică dacă ne gândim normal 2pi e și el un număr aproximat între 6 și 7. Deci în funcție e cum ai pune f(6, 283... )=y și obții tot un număr rațional care se măsoară în aceeași unitate(radian) ceea ce e normal caracteristic unei funcții.