O problemă, care deşi e de domeniul geometriei, va fi destul de clar că nu este o temă, pentru că nu e cu date concrete, ci are un caracter general. Deci, la un patrulater oarecare (deci oarecare, nu dreptunghi, nu pătrat, nu nimic) se cunosc două unghiuri alăturate. Se mai cunosc şi unghiurile determinate de diagonale cu laturile acestor două unghiuri. Ce credeţi, aceste date sunt suficiente pentru ca problema să fie determinată? Adică, pornind de la aceste date cunoscute se pot determina şi celelalte două unghiuri ale patrulaterului? (Dimensiunile laturilor nu ne interesează)
Am stat destul de mult la ea lucrând geometric și am ajuns la concluzia că era mult mai simplu să o fac trigonometric, nu numai în condițiile astea ci în oricare(m-am verificat așa dar nu mai are rost să spun și varianta aia). Am insistat strict pe rezolvarea geometrică pentru că ai zis " în aşa fel încât să se rezolve dintr-un condei" și am crezut că nu e așa grea. M-am cam înșelat.
E clar că ca în cazul general nu merge să afli unghiurile alea fără trigonometrie sau fără figuri ajutătoare. Ca figuri ajutătoare am încercat să o fac în mai multe feluri și doar 2(una parțial) au dat rezultate. Într-o variantă am inclus figura într-un paralelogram și în cealaltă am dus perpendiculară dintr-unul dintre puncte pe dreapta celuilalt(mă refer la punctele ce formează unghiurile necunoscute).
Întâi voi calcula unghiurile, chestie comună la ambele variante.(nu mai pun măsura unghiului și grade că se deduce)
DBA=80-30=50
CAB=A-CAD=80-20=60
AOB(O intersecția diagonalelor)=180-60-50=70
COB=180-70=110
Pentru că aceste unghiuri sunt opuse la vârf cu COD respectiv DOA, COD=70 și DOA=110
ADB=180-110-20=50
Acum varianta 1: Din C duc perpendiculară pe AD într-un punct P. Lungesc din P perpendiculara până la intersecția cu DB(prelungesc DB) în punctul de intersecție Q. QCA=70 iar BQC=40(pentru că din unghiuri opuse la vârf BDA=QDP=50 și celălalt unghi fiind drept necunoscutul ne dă 40). De aici se observă pe desen că triunghiul QPD congruent cu CPD lucru pe care am încercat să îl demonstrez cu diverse metode însă nu mi-a prea ieșit. Cert e că dacă formăm un triunghi din patrulater într-un punct E vom obține un patrulater QACE unde diagonalele sunt perpendiculare și PC(una din diagonale) e bisectoare lui ECA. AEB=20 deci ce mai trebuia demonstrat era că QEP e tot 20 și reieșea clar rombul. Am mai încercat niște chestii dar nu sunt relevante. În fine, dacă reiese ăla romb reies și triunghiurile QPD și CDP congruente deci vom obține că unghiul Q=PCA deci 40=70-DCA deci DCA=30 de grade deci C=70 și D=130.
Varianta 2: Fac paralelogramul ABCP unde P va fi egal cu B=80.
Aflăm celelalte unghiuri ale paralelogramului care sunt egale deci 80+80+2*PAB(sauPCB)=360 deci PAB=100=PCB
Deci PAD=100-80=20 dar știm că DAC=20 deci AD e bisectare în triunghiul PAC. În D se întâlnesc și celelalte drepte care împart celelalte unghiuri și se vede că și ele sunt bisectoare deci DCA=30(60/2). Se poate demonstra că sunt bisectoare găsind un triunghi a cărui unghiuri le știm congruent cu PDA sau PDC sau DCA ca să aflăm celelalte unghiuri. De PDC nu ne putem lega căci sunt 2 unghiuri nesigure dacă sunt tăiate de o bisectoare deci ne uităm fie la PDA fie la CDA. Cel mai bine e să îl luăm pe PDA căci se pot obține 20 de grade din unghiul B ducând o latură pe AC în punctul M. Atunci vom obține un triunghi echilateral căci MAB=CAB=60 și MBA=80-20=60. Deci AM=MB=AB.
triunghiul PDA este congruent cu CMB deoarece unghiul PAD=MBC=20, PA=CM(paralelogram), DA=MB(deoarece DA=AB care fac parte dintr-un triunghi isoscel iar AB=MB căci fac parte din triunghiul echilateral)
Deci APD=BCM=40 deci PD bisectoare deci DC bisectoare deci PCD=DCA=30 Deci C=70 și D=130
Răspunde
Ordonare:
După relevanţă
Băi ce răspunsuri! Din patru, două sunt cu "Da", unul îmi pune doar nişte întrebări (deşi eu am cerut răspunsuri) şi doar unul se referă (numai aşa, în fugă) la problemă. 
Răspunde
Unghiurile care se formează în jurul lui O nu mă interesează, ci doar celelalte două unghiuri ale patrulaterului (convex, evident). Deci dacă se cunosc A şi B, le vreau şi pe C şi D.
Am încercat diverse metode mai geometrice, nu prea mi-a ieșit(la un moment dat am crezut că nu se poate dar imediat mi-am dat seama desenând în funcție de ceea ce cunosc, figura, că ies unghiurile necunoscute cu o valoare exactă) iar în cele din urmă, dacă nu am greșit pe la calcule, mi-a ieșit cu teorema sinusurilor. Deci rămâne patrulaterul ABCD cu intersecția diagonalelor în O și toate unghiurile ce le-am determinat. Ca să aflăm unghiul C și D e îndeajuns să aflăm întâi unul dintre ele și celălalt va reieși direct. M-am axat pe unghiul C care e exprimat ca sumă din unghiul ACB+DCA și m-am axat pe aflarea unghiului DCA, ACB fiind cunoscut.
În triunghiul DCA: AD/ sin DCA=DC/sin CAD (1)
În triunghiul DCB: BD/sin C=DC/sin DBC deci BD/sin(ACB+DCA)=DC/sin DBC (2)
În triunghiul ABD: BD/sin A=AD/sin ABD(am ales triunghiul acesta cu ocazia apariției a 2 necunoscute diferite în (1) și (2), anume BD și AD care se regăsesc în triunghiul acesta. făcând asta pot exprima una în funcție de cealaltă). Deci AD=BD*sinABD/sin A (3)
(1) rezultă DC=AD*sinCAD/sin DCA
(2) rezultă DC=BD*sin DBC/sin(ACB+DCA)
Normal că DC=DC deci din (1) și (2) egalând relațiile ne reiese:
AD*sinCAD/sin DCA=BD*sin DBC/sin(ACB+DCA)
Mai știm că sin(ACB+DCA)=sinACBcosDCA+sinDCAcosACB (4)
Înlocuim în relație cu (3) și (4) și obținem
(BD*sinABD/sin A)*sinCAD/sin DCA=BD*sin DBC/sinACBcosDCA+sinDCAcosACB
(BD*sinABD/sin A)*sinCAD=sinDCA*BD*sin DBC/sinACBcosDCA+sinDCAcosACB
BD*sinABD/sin A=sinDCA*BD*sin DBC/(sinACBcosDCA+sinDCAcosACB)*sinCAD
BD*sinABD=sin A*sinDCA*BD*sin DBC/(sinACBcosDCA+sinDCAcosACB)*sinCAD
BD se simplifică.
sinABD=sin A*sinDCA*sin DBC/(sinACBcosDCA+sinDCAcosACB)*sinCAD
Știm toate unghiurile cu excepția lui DCA. Ca să simplific puțin voi nota tot ce știm ca fiind o constantă ci
c1=c2*sinDCA*c3/(c4cosDCA+sinDCAc4)*c5
c1*c5/c2*c3=sinDCA/c4(cosDCA+sinDCA) (am zis că ambele sunt c4 ca să scot mai repede factorul comun că vorbim de cazul general)
c4*c1*c5/c2*c3=sin DCA/cosDCA+sin DCA
Asta va fi o ecuație ce ar trebui să poată fi rezolvată cos DCA putând și el să fie exprimat în funcție de sin DCA.
După ce se află sin DCA se aplică arcsin și se află unghiul DCA. După se află unghiul C și de aici putem aplica faptul că suma unghiurilor într-un patrulater convex e de 360 și scădem din 360 pe A, B, C și rezultă D.
Răspunde Am citit şi am urmărit tot raţionamentul tău. Mi se pare corect. Bineînţeles că s-a ajuns la o ecuaţie extrem de complicată. Imaginează-ţi că unghiurile alea ar fi ceva gen 37 de grade, 51, 2 grade (deci nu 30; 60; 45 - unghiuri cunoscute) la ce calcule s-ar ajunge. Mai ales că trebuie să transformi şi cosinusul în funcţie de sinus, cu radical din 1 minus sin pătrat. Dar asta e, altceva mai simplu nu cred că avem. Interesant că la urmă se simplifică BD, ceea ce înseamnă că aflarea unghiurilor nu depindea de dimensiunile laturilor. De fapt, problema eu am văzut-o cu nişte date alese în aşa fel încât să se rezolve dintr-un condei, fără chiar să apelăm la relaţii trigonometrice. Unghiul A era egal cu B şi egal cu 80; unghiul CAD era 20, iar DBC 30. Chiar te rog dacă mai ai răbdare să o priveşti şi sub acest aspect particular.
În ceea ce privește aspectele particulare se pot găsi alternative mai simple în funcție de caz.
Și da, e destul de evident(deși la început dacă chiar te implici în problemă te poate duce puțin de nas) în momentul în care încerci să desenezi pe baza a ceea ce știi exact(unghiurile), vezi clar că indiferent de cum iei laturile, ele se vor intersecta cu diagonalele(în funcție de unghiurile alese) în 2 puncte fixe. E clar că dacă se poate realiza asta se și pot determina cumva acele unghiuri, de aia nu m-am lăsat așa ușor. De fapt era îndeajuns să spun atât dar era prea vag și distrugeam tot farmecul problemei.
Raționamentul meu nu ajunge într-o formă prea simplă și probabil se putea simplifica mai mult ecuația pe baza aceleiași idei. Dar întrebarea ta e simplă, se referă la ce credem(de aia și răspunsurile amuzante de mai sus). Chiar dacă raționamentul nu e suficient de simplu de aplicat, în orice caz, e îndeajuns ca să se arate că se poate obține o ecuație cu o necunoscută ceea ce înseamnă că indiferent de cât de complicat poate arăta, aceasta se poate rezolva deci de aici reiese ce ai întrebat tu, anume că da, se poate determina acel unghi, demonstrația pentru asta e suficientă(sunt ecuații mult mai complicate ce pot fi rezolvate în câteva secunde aplicând un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor neliniare, era calculatoarelor, am și văzut ieri o întrebare legată de așa ceva ce a fost ștearsă pe motiv de temă, frustrant). Nu voi mai sta azi să mă uit pe caz, revin mâine cu un răspuns.
Stai puţin, înainte de a trece mai departe, m-am oprit de la bun început. Ai spus CBA=80-30=50. Păi CBA este chiar unghiul B, care este 80. Sau nu avem amândoi aceleaşi notaţii? Hai să clarificăm mai întâi notaţiile. Eu le-am pus în ordinea inversă acelor de ceasornic. Am luat baza AB orizontală, cu vârful A în stânga şi B în dreapta. Dar nu contează cum am luat eu, spune-mi notaţia ta şi eu mă adaptez.
Am încurcat niște notații, am modificat acum răspunsul. Dacă mai e o problemă să mă anunți. Am luat AB ca bază și deasupra lui B l-am luat pe C și deasupra lui A pe D.
Da, deci varianta 1 pică (deocamdată) pentru că nu am putut arăta că ăla e romb. Dar varianta 2 e fără greşeală, am urmărit-o cap coadă. Excelent! Eram puţin obosit chiar la urmă, la ultimul rând şi eram gata să ripostez: Păi cum, dacă am demonstrat că PD e bisectoare, de ce imediat spui că şi DC e bisectoare. Mi-am zis că vrei să-mi bagi repede afirmaţia asta sub nas, că iuţeala de mână e nebăgare de seamă 
De fapt, era evident. în orice truinghi bisectoarele sunt concurente. Frumoasă problemă! Recunoaşte că ţi-a plăcut.
Da, a fost foarte frumoasă dar și destul de grea. În vreo 7 ani doar 2 probleme de geometrie mi-au rămas în minte și deși una era o admitere la o facultate serioasă, nu se compară cu problema asta, clar. La câtă geometrie am făcut eu în ultimii ani...Chiar mi-a plăcut să îi mai simt puțin gustul.
Ai văzut, fără pic de trigonometrie! Când am văzut că formezi paralelogramul, am zis: aha, băiatul o ia pe arătură. A luat-o într-o direcţie care duce spre nicăieri. Şi până la urmă ai ajuns exact unde trebuie. Spuneam asta pentru că aveam presimţirea că în afară de varianta mea nu mai există alta, în afară de calea trigonometrică bineînţeles. Apropo, dacă vrei îţi pot spune şi versiunea mea.
Dacă vrei, chiar te rog să îmi spui și versiunea ta.
Deci păstrăm notaţiile. De la bun început remarcăm că tr. ADB este isoscel (un unghi de 80 şi unul de 40). Notăm cu L mărimea AB=AD. Ducem din A o linie care face 20 de grade cu AB până întâlneşte pe BC în M. Unim pe M cu D. Triunghiul AMD are două două laturi L deci e isoscel, dar având unghiul de la vârf 60 este şi echilateral. Deci am mai găsit un L adică DM=L. Să observăm acum tr. AMC, are un unghi de 40 (80-20-20) si un unghi de 100 (180-80), deci e isoscel si el. Am ajuns la ultimul L, adică MC=L. Şi în fine un tr. isoscel DMC cu unghiul de la vârf 40 (180-80-60). Deci C=70
Ideea nu-mi aparţine. Mi-a arătat-o si mie cineva. Deci eu am luat-o pe gratis. Tu însă ai lucrat singur şi ai ajuns la un rezultat la care nu mă aşteptam. Am fost surprins să văd că se poate şi altfel.
Ai zis că L e AB și AD iar în AMD ai AD, deci o latură L. M-am uitat pentru o secundă puțin strâmb când ai zis 2 de L Observ că a doua latură L se obține din triunghiul AMB care de asemenea e isoscel cu 2 unghiuri de 80 deci AM=AB=L.
Frumoasă metodă, de a găsi că acel triunghi este isoscel și clar mai simplă decât prima mea variantă unde probabil aflai mult mai greu de acel romb. Pe lângă varianta asta cu construit de patrulatere ca figuri ajutătoare uite că e o variantă foarte bună să observi întâi triunghiurile isoscele sau/și echilaterale și să profiți de asta, bine că ai expus-o.
"În vreo 7 ani doar 2 probleme de geometrie mi-au rămas în minte" - Care era cea de a doua problemă?
Sincer îmi amintesc destul de vag. Mai știu în mare că în ambele era vorba tot de figuri plane, anume triunghiuri, trebuiau duse la fel, niște drepte în plus pe acolo iar în una dintre ele am scos-o la cap tot cu ajutorul trigonometriei(totuși vorbim doar de un cos nevinovat deci parțial a trigonometriei). Se aplica în mod repetat teorema cosinusului. Însă cum am zis, nu îmi pot aminti în detaliu.
Am stat destul de mult la ea lucrând geometric și am ajuns la concluzia că era mult mai simplu să o fac trigonometric, nu numai în condițiile astea ci în oricare(m-am verificat așa dar nu mai are rost să spun și varianta aia). Am insistat strict pe rezolvarea geometrică pentru că ai zis " în aşa fel încât să se rezolve dintr-un condei" și am crezut că nu e așa grea. M-am cam înșelat.
E clar că ca în cazul general nu merge să afli unghiurile alea fără trigonometrie sau fără figuri ajutătoare. Ca figuri ajutătoare am încercat să o fac în mai multe feluri și doar 2(una parțial) au dat rezultate. Într-o variantă am inclus figura într-un paralelogram și în cealaltă am dus perpendiculară dintr-unul dintre puncte pe dreapta celuilalt(mă refer la punctele ce formează unghiurile necunoscute).
Întâi voi calcula unghiurile, chestie comună la ambele variante.(nu mai pun măsura unghiului și grade că se deduce)
DBA=80-30=50
CAB=A-CAD=80-20=60
AOB(O intersecția diagonalelor)=180-60-50=70
COB=180-70=110
Pentru că aceste unghiuri sunt opuse la vârf cu COD respectiv DOA, COD=70 și DOA=110
ADB=180-110-20=50
Acum varianta 1: Din C duc perpendiculară pe AD într-un punct P. Lungesc din P perpendiculara până la intersecția cu DB(prelungesc DB) în punctul de intersecție Q. QCA=70 iar BQC=40(pentru că din unghiuri opuse la vârf BDA=QDP=50 și celălalt unghi fiind drept necunoscutul ne dă 40). De aici se observă pe desen că triunghiul QPD congruent cu CPD lucru pe care am încercat să îl demonstrez cu diverse metode însă nu mi-a prea ieșit. Cert e că dacă formăm un triunghi din patrulater într-un punct E vom obține un patrulater QACE unde diagonalele sunt perpendiculare și PC(una din diagonale) e bisectoare lui ECA. AEB=20 deci ce mai trebuia demonstrat era că QEP e tot 20 și reieșea clar rombul. Am mai încercat niște chestii dar nu sunt relevante. În fine, dacă reiese ăla romb reies și triunghiurile QPD și CDP congruente deci vom obține că unghiul Q=PCA deci 40=70-DCA deci DCA=30 de grade deci C=70 și D=130.
Varianta 2: Fac paralelogramul ABCP unde P va fi egal cu B=80.
Aflăm celelalte unghiuri ale paralelogramului care sunt egale deci 80+80+2*PAB(sauPCB)=360 deci PAB=100=PCB
Deci PAD=100-80=20 dar știm că DAC=20 deci AD e bisectare în triunghiul PAC. În D se întâlnesc și celelalte drepte care împart celelalte unghiuri și se vede că și ele sunt bisectoare deci DCA=30(60/2). Se poate demonstra că sunt bisectoare găsind un triunghi a cărui unghiuri le știm congruent cu PDA sau PDC sau DCA ca să aflăm celelalte unghiuri. De PDC nu ne putem lega căci sunt 2 unghiuri nesigure dacă sunt tăiate de o bisectoare deci ne uităm fie la PDA fie la CDA. Cel mai bine e să îl luăm pe PDA căci se pot obține 20 de grade din unghiul B ducând o latură pe AC în punctul M. Atunci vom obține un triunghi echilateral căci MAB=CAB=60 și MBA=80-20=60. Deci AM=MB=AB.
triunghiul PDA este congruent cu CMB deoarece unghiul PAD=MBC=20, PA=CM(paralelogram), DA=MB(deoarece DA=AB care fac parte dintr-un triunghi isoscel iar AB=MB căci fac parte din triunghiul echilateral)
Deci APD=BCM=40 deci PD bisectoare deci DC bisectoare deci PCD=DCA=30 Deci C=70 și D=130
Am si eu o intrebare: esti pasionat de matematica? Esti profesor/ predai matematica? De unde atata pasiune? De fapt sunt mai multe intrebari
Scuze de off topic.
Nu sunt nici profesor, nici nu lucrez într-un domeniu în care să îmi trebuie mate. Sunt doar un amator. Ce mai ştiu ştiu din liceu şi pentru că mai pun mâna pe câte o carte. Alţii sunt tari în mate pe aici (Inferno, t&t, Darkmagic şi mai sunt). Mate îmi place, cum să nu. Ştii pe cineva căruia nu-i place?
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
