O problemă, care deşi e de domeniul geometriei, va fi destul de clar că nu este o temă, pentru că nu e cu date concrete, ci are un caracter general. Deci, la un patrulater oarecare (deci oarecare, nu dreptunghi, nu pătrat, nu nimic) se cunosc două unghiuri alăturate. Se mai cunosc şi unghiurile determinate de diagonale cu laturile acestor două unghiuri. Ce credeţi, aceste date sunt suficiente pentru ca problema să fie determinată? Adică, pornind de la aceste date cunoscute se pot determina şi celelalte două unghiuri ale patrulaterului? (Dimensiunile laturilor nu ne interesează)

Da

Am si eu o intrebare: esti pasionat de matematica? Esti profesor/ predai matematica? De unde atata pasiune? De fapt sunt mai multe intrebari
Scuze de off topic.

Sunt date suficiente pentru rezolvarea problemei. Ba chiar e foarte simpla.

Da.

Băi ce răspunsuri! Din patru, două sunt cu "Da", unul îmi pune doar nişte întrebări (deşi eu am cerut răspunsuri) şi doar unul se referă (numai aşa, în fugă) la problemă.

Nu sunt nici profesor, nici nu lucrez într-un domeniu în care să îmi trebuie mate. Sunt doar un amator. Ce mai ştiu ştiu din liceu şi pentru că mai pun mâna pe câte o carte. Alţii sunt tari în mate pe aici (Inferno, t&t, Darkmagic şi mai sunt). Mate îmi place, cum să nu. Ştii pe cineva căruia nu-i place?

Ai şi nişte argumente? Sau ai spus doar aşa intuitiv? Mie nu mi se pare că ar fi simplă.

Unghiurile care se formează în jurul lui O nu mă interesează, ci doar celelalte două unghiuri ale patrulaterului (convex, evident). Deci dacă se cunosc A şi B, le vreau şi pe C şi D.

Am încercat diverse metode mai geometrice, nu prea mi-a ieșit(la un moment dat am crezut că nu se poate dar imediat mi-am dat seama desenând în funcție de ceea ce cunosc, figura, că ies unghiurile necunoscute cu o valoare exactă) iar în cele din urmă, dacă nu am greșit pe la calcule, mi-a ieșit cu teorema sinusurilor. Deci rămâne patrulaterul ABCD cu intersecția diagonalelor în O și toate unghiurile ce le-am determinat. Ca să aflăm unghiul C și D e îndeajuns să aflăm întâi unul dintre ele și celălalt va reieși direct. M-am axat pe unghiul C care e exprimat ca sumă din unghiul ACB+DCA și m-am axat pe aflarea unghiului DCA, ACB fiind cunoscut.
În triunghiul DCA: AD/ sin DCA=DC/sin CAD (1)
În triunghiul DCB: BD/sin C=DC/sin DBC deci BD/sin(ACB+DCA)=DC/sin DBC (2)
În triunghiul ABD: BD/sin A=AD/sin ABD(am ales triunghiul acesta cu ocazia apariției a 2 necunoscute diferite în (1) și (2), anume BD și AD care se regăsesc în triunghiul acesta. făcând asta pot exprima una în funcție de cealaltă). Deci AD=BD*sinABD/sin A (3)

(1) rezultă DC=AD*sinCAD/sin DCA
(2) rezultă DC=BD*sin DBC/sin(ACB+DCA)

Normal că DC=DC deci din (1) și (2) egalând relațiile ne reiese:
AD*sinCAD/sin DCA=BD*sin DBC/sin(ACB+DCA)

Mai știm că sin(ACB+DCA)=sinACBcosDCA+sinDCAcosACB (4)

Înlocuim în relație cu (3) și (4) și obținem

(BD*sinABD/sin A)*sinCAD/sin DCA=BD*sin DBC/sinACBcosDCA+sinDCAcosACB

(BD*sinABD/sin A)*sinCAD=sinDCA*BD*sin DBC/sinACBcosDCA+sinDCAcosACB

BD*sinABD/sin A=sinDCA*BD*sin DBC/(sinACBcosDCA+sinDCAcosACB)*sinCAD

BD*sinABD=sin A*sinDCA*BD*sin DBC/(sinACBcosDCA+sinDCAcosACB)*sinCAD

BD se simplifică.

sinABD=sin A*sinDCA*sin DBC/(sinACBcosDCA+sinDCAcosACB)*sinCAD

Știm toate unghiurile cu excepția lui DCA. Ca să simplific puțin voi nota tot ce știm ca fiind o constantă ci

c1=c2*sinDCA*c3/(c4cosDCA+sinDCAc4)*c5
c1*c5/c2*c3=sinDCA/c4(cosDCA+sinDCA) (am zis că ambele sunt c4 ca să scot mai repede factorul comun că vorbim de cazul general)
c4*c1*c5/c2*c3=sin DCA/cosDCA+sin DCA
Asta va fi o ecuație ce ar trebui să poată fi rezolvată cos DCA putând și el să fie exprimat în funcție de sin DCA.
După ce se află sin DCA se aplică arcsin și se află unghiul DCA. După se află unghiul C și de aici putem aplica faptul că suma unghiurilor într-un patrulater convex e de 360 și scădem din 360 pe A, B, C și rezultă D.

Am citit şi am urmărit tot raţionamentul tău. Mi se pare corect. Bineînţeles că s-a ajuns la o ecuaţie extrem de complicată. Imaginează-ţi că unghiurile alea ar fi ceva gen 37 de grade, 51, 2 grade (deci nu 30; 60; 45 - unghiuri cunoscute) la ce calcule s-ar ajunge. Mai ales că trebuie să transformi şi cosinusul în funcţie de sinus, cu radical din 1 minus sin pătrat. Dar asta e, altceva mai simplu nu cred că avem. Interesant că la urmă se simplifică BD, ceea ce înseamnă că aflarea unghiurilor nu depindea de dimensiunile laturilor. De fapt, problema eu am văzut-o cu nişte date alese în aşa fel încât să se rezolve dintr-un condei, fără chiar să apelăm la relaţii trigonometrice. Unghiul A era egal cu B şi egal cu 80; unghiul CAD era 20, iar DBC 30. Chiar te rog dacă mai ai răbdare să o priveşti şi sub acest aspect particular.

În ceea ce privește aspectele particulare se pot găsi alternative mai simple în funcție de caz.
Și da, e destul de evident(deși la început dacă chiar te implici în problemă te poate duce puțin de nas) în momentul în care încerci să desenezi pe baza a ceea ce știi exact(unghiurile), vezi clar că indiferent de cum iei laturile, ele se vor intersecta cu diagonalele(în funcție de unghiurile alese) în 2 puncte fixe. E clar că dacă se poate realiza asta se și pot determina cumva acele unghiuri, de aia nu m-am lăsat așa ușor. De fapt era îndeajuns să spun atât dar era prea vag și distrugeam tot farmecul problemei.
Raționamentul meu nu ajunge într-o formă prea simplă și probabil se putea simplifica mai mult ecuația pe baza aceleiași idei. Dar întrebarea ta e simplă, se referă la ce credem(de aia și răspunsurile amuzante de mai sus). Chiar dacă raționamentul nu e suficient de simplu de aplicat, în orice caz, e îndeajuns ca să se arate că se poate obține o ecuație cu o necunoscută ceea ce înseamnă că indiferent de cât de complicat poate arăta, aceasta se poate rezolva deci de aici reiese ce ai întrebat tu, anume că da, se poate determina acel unghi, demonstrația pentru asta e suficientă(sunt ecuații mult mai complicate ce pot fi rezolvate în câteva secunde aplicând un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor neliniare, era calculatoarelor, am și văzut ieri o întrebare legată de așa ceva ce a fost ștearsă pe motiv de temă, frustrant). Nu voi mai sta azi să mă uit pe caz, revin mâine cu un răspuns.

Stai puţin, înainte de a trece mai departe, m-am oprit de la bun început. Ai spus CBA=80-30=50. Păi CBA este chiar unghiul B, care este 80. Sau nu avem amândoi aceleaşi notaţii? Hai să clarificăm mai întâi notaţiile. Eu le-am pus în ordinea inversă acelor de ceasornic. Am luat baza AB orizontală, cu vârful A în stânga şi B în dreapta. Dar nu contează cum am luat eu, spune-mi notaţia ta şi eu mă adaptez.

Am încurcat niște notații, am modificat acum răspunsul. Dacă mai e o problemă să mă anunți. Am luat AB ca bază și deasupra lui B l-am luat pe C și deasupra lui A pe D.

Da, deci varianta 1 pică (deocamdată) pentru că nu am putut arăta că ăla e romb. Dar varianta 2 e fără greşeală, am urmărit-o cap coadă. Excelent! Eram puţin obosit chiar la urmă, la ultimul rând şi eram gata să ripostez: Păi cum, dacă am demonstrat că PD e bisectoare, de ce imediat spui că şi DC e bisectoare. Mi-am zis că vrei să-mi bagi repede afirmaţia asta sub nas, că iuţeala de mână e nebăgare de seamă De fapt, era evident. în orice truinghi bisectoarele sunt concurente. Frumoasă problemă! Recunoaşte că ţi-a plăcut.

Da, a fost foarte frumoasă dar și destul de grea. În vreo 7 ani doar 2 probleme de geometrie mi-au rămas în minte și deși una era o admitere la o facultate serioasă, nu se compară cu problema asta, clar. La câtă geometrie am făcut eu în ultimii ani...Chiar mi-a plăcut să îi mai simt puțin gustul.

Ai văzut, fără pic de trigonometrie! Când am văzut că formezi paralelogramul, am zis: aha, băiatul o ia pe arătură. A luat-o într-o direcţie care duce spre nicăieri. Şi până la urmă ai ajuns exact unde trebuie. Spuneam asta pentru că aveam presimţirea că în afară de varianta mea nu mai există alta, în afară de calea trigonometrică bineînţeles. Apropo, dacă vrei îţi pot spune şi versiunea mea.

Dacă vrei, chiar te rog să îmi spui și versiunea ta.

Deci păstrăm notaţiile. De la bun început remarcăm că tr. ADB este isoscel (un unghi de 80 şi unul de 40). Notăm cu L mărimea AB=AD. Ducem din A o linie care face 20 de grade cu AB până întâlneşte pe BC în M. Unim pe M cu D. Triunghiul AMD are două două laturi L deci e isoscel, dar având unghiul de la vârf 60 este şi echilateral. Deci am mai găsit un L adică DM=L. Să observăm acum tr. AMC, are un unghi de 40 (80-20-20) si un unghi de 100 (180-80), deci e isoscel si el. Am ajuns la ultimul L, adică MC=L. Şi în fine un tr. isoscel DMC cu unghiul de la vârf 40 (180-80-60). Deci C=70

Ideea nu-mi aparţine. Mi-a arătat-o si mie cineva. Deci eu am luat-o pe gratis. Tu însă ai lucrat singur şi ai ajuns la un rezultat la care nu mă aşteptam. Am fost surprins să văd că se poate şi altfel.

Ai zis că L e AB și AD iar în AMD ai AD, deci o latură L. M-am uitat pentru o secundă puțin strâmb când ai zis 2 de L Observ că a doua latură L se obține din triunghiul AMB care de asemenea e isoscel cu 2 unghiuri de 80 deci AM=AB=L.
Frumoasă metodă, de a găsi că acel triunghi este isoscel și clar mai simplă decât prima mea variantă unde probabil aflai mult mai greu de acel romb. Pe lângă varianta asta cu construit de patrulatere ca figuri ajutătoare uite că e o variantă foarte bună să observi întâi triunghiurile isoscele sau/și echilaterale și să profiți de asta, bine că ai expus-o.

"În vreo 7 ani doar 2 probleme de geometrie mi-au rămas în minte" - Care era cea de a doua problemă?

Sincer îmi amintesc destul de vag. Mai știu în mare că în ambele era vorba tot de figuri plane, anume triunghiuri, trebuiau duse la fel, niște drepte în plus pe acolo iar în una dintre ele am scos-o la cap tot cu ajutorul trigonometriei(totuși vorbim doar de un cos nevinovat deci parțial a trigonometriei). Se aplica în mod repetat teorema cosinusului. Însă cum am zis, nu îmi pot aminti în detaliu.