Operatiile inverse in matematica au aparut in mod cat se poate de firesc. Daca s-a facut ridicarea la putere, normal ca s-a pus si problema inversa: ce numar inmultit cu el insusi ne da numarul dat? Si astfel s-a nascut ideea de radical. Daca am stiut ca 2 la puterea a cincia este 32, s-a ivit si situatia in care ne-a trebuit sa stim la ce putere trebuie ridicat 2 ca sa obtinem 32; si asa a aparut notiunea de logaritm (in cazul de fata in baza 2). Cum a aparut insa notiunea de logaritm natural? Cine si pentru ce ar fi fost interesat sa stie la ce putere trebuie ridicat un numar irational (bașca si transcendent) ca sa obtina un numar dat? Unde pui ca l-au mai numit si "natural"

Nu orice număr irațional. E vorba de numărul lui Euler care are anumite proprietăți speciale. De fapt nu e vorba nici de simplul număr a lui Euler ci de funcția exponențială care are anumite proprietăți speciale, utilizată des în matematică. Mai poate fi vorba de numere complexe, de formula lui Euler, e^(i*x)=cos(x) + i sin(x) care descrie un punct aflat pe cercul de pe sistemul de axe reală și imaginară.

Omul si-a inchipuit niste numere legate de lucruri din viata reala si imaginara numarabile si s-a jucat cu ele si a vazut ca tind spre o valoare zecimala cu un numar infinit de zecimale considerata constanta "e". Atat de mult i-a placut omului sa se joace cu ea ca a pus-o in rama intr-un tablou si zice: "Ce mare descoperire am facut!?"

"M-am gândit să îți dau și niște exemple practice că vorbind doar strict de matematică e așa, poate cam vag...Matematica e în general suportul fizicii.
În cazul sistemelor avem parte de funcții de transfer. Funcția de transfer e în domeniul frecvenței deci vom avea parte de H(f). Aceasta reprezintă raportul dintre semnalul de ieșire și semnalul de intrare în domeniul timpului însă nu putem să vorbim că o funcție din domeniul timpului să fie egală cu o funcție din domeniul frecvenței deci trebuie să transformăm timpul în frecvență. Acest lucru s-a realizat teoretic printr-un operator de transformare numit Laplace sau transformata Laplace. De la fizică știi legea de mișcare x = A*sin(ωt + φ) = f(t). Asta se folosește pentru funcțiile semnalelor de intrare și ieșire.
Adică si(t)=Ai*sin(ωt + φi)
so(t)=Ao*sin(ωt + φo)
Trecându-le în domeniul frecvenței vei obține o exponențială!
Si(f)=Ai*e^(j*((ωt + φi)) și viceversa pentru So(f). Deci prin schimbarea domeniului obții exponențiala. Cum se obțin toate astea, păi e mult, muuuuult de scris și de înțeles. Și de aici și funcția de transfer fiind H(f)=So(f)/ Si(f)=Ao/Ai * e^(j*(φ0-φi)).
Și așa am arătat că avem exponențială în funcția de transfer extraordinar de importantă în studiul sistemelor de orice fel!
Și asta se aplică în cazul oricărei mărimi sinusoidale.
Vorbeam de formula lui Euler, ea se folosește mult în electrotehnică. Tu când vorbești de curent ca mărime sinusoidală de exemplu, vei vorbi și de numere complexe că vei face conversia în complex sau viceversa. Valoarea lui I(curentul) dacă e de exemplu 5 rad(3)+5*i se poate scrie asta ca 10*e^(i*pi/6). Numărul i e un operator de rotație cu pi/2 în sens trigonometric pozitiv, adică vorbim de un semicerc. Cam așa se mișcă pe grafic. De ce e așa? Căci i=e^(i*pi/2), asta obținem dacă aplicăm formula lui Euler și ni se demonstrează totul pe un grafic, dacă vrei să te uiți pe site-uri din astea care fac grafice gen Geogebra(parcă așa se numea) vei observa. Sunt exerciții cu Kirchhoff unde calculezi în domeniul complex într-un circuit tensiunea, intensitatea și după din alea rezultă mărimile sinusoidale, formule care folosesc acel e. Totul pleacă de la acea formulă a lui Euler.
Un alt exemplu ar fi intensitatea diodei. Ecuația lui Shockley pentru diodă e o exponențială. id=is(e^(vd/nvt)-1
unde id=curentul diodei, is=curentul de saturație, vt=tensiunea termică.
Calculăm conductanța ne vom folosi de proprietățile derivatei exponențialei. Știm că singura funcție variabilă derivată care dă ea însăși este e^x. Ecuația asta e o lege, ai un grafic corespunzător și asta e fizic funcția, una exponențială. De aici pleacă bazele amplificatoarelor logaritmice și exponențiale unde se află o diodă înseriată cu o rezistență. În cazul amplificatorului exponențial obținem normal o funcție exponențială. De ce e important logaritmul natural? Inversa funcției exponențiale este funcția logaritmică iar dacă schimbi dioda cu rezistența între ele vei obține logaritmica.
De asemenea funcția exponențială și logaritmică, pe lângă că se derivează și integrează frumos, sunt unele dintre funcțiile compatibile cu seriile Taylor, iar foarte importante și alea. Dacă te uiți și compari graficul lui f(x)=e^x cu altele de genul n^x vei observa o diferență. e^x se așează mult mai "frumos" și parcă graficul ăla chiar spune ceva.
Însă când vorbești prima oară de e(sincer habar nu am cum au ajuns prima oară la acel număr și poate să nu fie ăsta exemplul) parcă îți vine în minte lim(1+1/n)^n. La asta a ajuns Jacob Bernoulli încercând să găsească o formulă pentru calculul dobânzii compuse. Deci putem vorbi de ea și în termeni economici. Parcă am mai vorbit la un topic tot deschis de tine despre asta, dacă mai țin minte eu bine. Se observă că cu câți mărești perioadele(n) de capitalizare a dobânzii, convergi la acel e.
Ți-am spus să te uiți la graficul exponențialei. Derivata e tot e^x. E singura derivată care pentru x=0 dă 1, și ea poate fi observată pe un grafic.
Că tot vorbeam de serii Taylor, funcția e^x se descompune foarte frumos într-o serie Maclaurin, anume ca sumă cu n de la 0 la infinit din z^n/n!
Vasille parcă spunea că a făcut politehnica dacă îmi amintesc eu bine și aici spune că
"Atat de mult i-a placut omului sa se joace cu ea ca a pus-o in rama intr-un tablou si zice: "Ce mare descoperire am facut!?" laughing"
Mi se pare o ignoranță totală iar, specifică lui. Nu știu cum a terminat facultatea aia. În fine, nu ar fi primul de care dau pe TPU așa. Altul care parcă făcuse automatica la București nu știa că 1/inf=0." - este interesant raspunsul tau. Dar parca intrebarea era cum s-a ajuns la numarul "e" si nu la ce se foloseste. Si tu ti-ai dat seama de asta cand ai scris: "sincer habar nu am cum au ajuns prima oară la acel număr și poate să nu fie ăsta exemplul". Ceva asemanator este si cu ecuatia de gradul doi si iata asa ajungem prin antichitate pe la babilonieni si asa mai departe pana la sumerieni. Iti mai explic cum am trecut prin facultate desi ti-am mai spus partea cu blocarea profesorului de mecanica in sala de examen. La electronica s-a pus accent mai mult pe informatica si electronica digitala. Anii trecuti m-am ocupat de filtre digitale FIR si IIR si implementarea lor in dsPIC. Ce-i drept am ocolit partea de matematica gasind un soft care calcula coeficientii filtrelor automat. Si iata asa am scapat de numarul "e" si alte cele.

"Cine si pentru ce ar fi fost interesat sa stie la ce putere trebuie ridicat un numar irational (bașca si transcendent) ca sa obtina un numar dat?"
Nu cred că ai citit nici întrebarea nici răspunsul meu, doar l-ai copiat. Am spus cum se consideră că s-a ajuns la el mai spre jos, dacă te uitai mai atent. Am zis cum se consideră și cine se consideră că a ajuns la el însă numărul e are foarte multe aplicații, de aia am zis că nu știu sigur dacă aia a fost prima aplicație, cu dobânzile, însă aia e considerată oficial. e se folosește în multe domenii, nu ai scuză spunând că niște oameni nu aveau ce face și s-au jucat de-a matematica.

De fapt asta e ceva iertabil printre alte aberații pe care le susții pe aici, gen știința e satana. Normal că îți dai cu părerea unde nu știi și dacă nu știi consideri ori un joc al unor oameni care nu au avut ce face ori planuri malefice a lu' satana ca să îi controleze pe oameni. Oricum ar fi, m-am convins de mult de ideile tale.

S-a jucat din pasiune si curiozitate. Pasiunea si curiozitatea mea pe aici este sa discut despre chestiuni existentiale. Iar intrebarea de mai sus m-a determinat sa ma intreb cum s-a ajuns la numarul "e". Am reformulat intrebarea de mai sus. Este adevarat ca am citit cam "din avion" deoarece subiectul nu ma prea intereseaza dar nici chiar deloc si iata asa m-am oprit putin in treacat pe la subiectul si intrebarea asta.

Cum calculam derivata pentru o functie exponentiala: 2^x; 3^x; 4^x, etc?
Sau pentru cazul general a^x?
Sa presupunem ca vrem sa calculam derivata functiei f(x)=a^x
Derivata este prin definitie raportul intre o variatie foarte mica a functiei f(x), si variatia foarte mica a variabilei "x".

O variatie foarte mica a functiei "f(x") poate fi scrisa ca "df(x)=a^(x+dx)-a^x", iar o variatie foarte mica a lui "x" se noteaza simplu "dx".
Unde "dx" reprezinta practic acel increment ce are valori foarte mici (a carui limita tinde la zero mai precis).

Cu alte cuvinte derivata lui "f(x)" va fi "f(x)`=[a^(x+dx)-a^x]/dx".
Prelucrand relatia obrinem:
f(x)`=a^x [(a^dx-1)/dx]

Asta e formula generala. Pentru cazuri particulare "a" va lua anumite valori concrete (2, 3,4, 5).
Ideea e ca aacel terment "[(a^dx-1)/dx]" este practic o constanta.
Spre exemplu pentru a=3, [(3^dx-1)/dx]=1,098, atunci cand "dx" tinde la zero.
Este deci firesc sa notam termenul "[(a^dx-1)/dx]=C", iar acest "C" (constanta) depinde de valoarea lui "a".




Pe scurt:

Stim ca derivata functiei "f(x)=a^x" se poate scrie ca " f(x)`=a^x * C" unde "C" este o constanta si depinde de "a".
Cateva exemple:
Cand a=2, C=0.693...
Derivata lui "2^x" va fi 2^x*0.693
Cand a =3, C=1.098...
Derivata lui "3^x" va fi 3^x*1.098...
Si tot asa.
Apare deci intrebarea:
Exista o valoare a lui "a" pentru care acea constanta "C" sa fie egala cu 1, si in consecinta derivata lui a^x sa fie egala cu ea insasi.
Iar raspunsul este da, exista un asemenea "a" si este egal cu aproximativ 2, 718. , iar in matematica se noteaza cu "e".
Cand a=e=2, 718... , C=1
Derivata lui e^x=e^x*1=e^x

"Cine si pentru ce ar fi fost interesat sa stie la ce putere trebuie ridicat un numar irational (bașca si transcendent) ca sa obtina un numar dat?"


Deci "ln(a)=x" este acel numar "x" care are proprietate ca e^x=a.
De ce ne intereseaza asta?
Deoarece "a^x" mai poate fi scris ca "a^x=e^[ln(a)*x]"
Daca incercam sa calculam derivata lui "f(x)=a^x" folosind relatia de mai sus obtinem:
1) f(x)`=ln(a)*e^[ln(a)*x]
Mai stim insa ca:
2) f(x)`=a^x*C, sau utilizand notatia de mau sus "f(x)`=e^[ln(a)*x]*C"
Din 1 si 2 rezulta ca:
e^[ln(a)*x]*C= ln(a)*e^[ln(a)*x]
deci C=ln(a).
In concluzia f(x)`=a^x*ln(a).
Si iata ca asa am reusit sa intelegem nu numai un tip anume de functie exponentiala ce are proprietatea ca derivata ei este egala cu ea insasi "e^x", dar si modul in care putem calcula orice functie exponentiala, toate acestea prin a defini numarul "e" si prin a ne pune intrebarea: "La ce putere trebuie ridicat acesta pentru a obtine alt numar dat?"

Ca sa trag o paralela si numarul "pi" are o definitie extrem de simpla, insa cu toate acestea se regaseste in toata matematica, chiar si acolo unde nu te-ai astepta sa il gasesti. La fel si cu "e".

Vassile da copy-paste la raspunsurile altora sa zica ca araspuns el? )))))

Chiar ti se pare amuzant? E un comentariu tipic de utilizator frustrat, care se simte depasit de subiect.

Cred ca iti dai seama ca nu sunt nici eu chiar strain de subiectul "e". Stiam de (1+1/n)^n, de descompunerea aia in serie Maclaurin si inca alte chestii; nu stiam insa unele detalii expuse de tine. Asa ca, din nou, vreau sa spun motivele pentru care aduc uneori in discutie subiecte de acest gen: 1. Pentru a-mi reaminti eu unele lucruri si a-mi completa cunostintele si 2. Sunt convins ca sunt si altii care nu stiu nici cat stiu eu si ar aprecia niste explicatii inteligibile. Deci, nu cred ca intrebarea plus explicatiile date sunt o pierdere de timp.

Nu am zis că "explicatiile date sunt o pierdere de timp."

Si prostia e amuzanta. Dar m i te-am imaginat "scrolland" din mouse in jos, cu ochii apropiati de monitor citind preocupat raspunsurile. Apoi ajungi la raspunsul dat de MrRipley.
Plus ca ai mai pus o intrebare recent si primele trei raspunsuri erau tot cam la fel de "inteligente". M-am amintit si de chestia asta.

Stiu, nu m-am referit la tine, ci la unii frustrati, precum acest MrRipley

"Spre exemplu pentru a=3, [(3^dx-1)/dx]=1,098, atunci cand "dx" tinde la zero. " - Cum stim asta?

Păi decât prost cu o prietenă proastă(că nu cred că una inteligentă s-ar uita după un prost) mai bine altfel, orice ar însemna acel altfel
Unii nu se pot mândri cu altceva decât cu faptul că au o prietenă, care cine știe în ce circumstanțe stă cu ei...
Am raportat răspunsul, să nu fi supărat din cauza lui.

Legat de afirmația lui Inferno, cum a zis și el dx ia o valoare infimă ce tinde la 0. Înlocuiește dx cu 0.001 și fă calculul de exemplu.

Eu am facut calculul prin metode aproximative asa cum spune tϑτ.
Cum demonstram asta matematic? M-am gandit mult, de fapt chiar m-am uitat pe o lista de "limite remarcabile" pentru a imi improspata memoria.
Problema e ca nu stiu ce limita "am voie" sa folosesc si ce nu.
Spre exemplu limita cand n tinde la zero din (1+n)^1/n stim ca este egal cu "e". Insa nu ar avea sens sa folosesc o asemenea limita deoarece ea e o consecinta a ceea ce incerc sa demonstrez. Ar fi lipsit de sens. Folosesc concluzia pentru a sustine demonstratia?

Acum mă întreb, prima oară oamenii au folosit aproximări? Eu mă gândeam la Regula lui l'Hôpital că cu aia poți rezolva limita însă ca să demonstrezi chestia aia tot la derivate te duci. Deci sunt reguli ce le deduci folosind derivate, adică ceea ce vrem să demonstrăm. Sau ca în cazul gândit de tine, limite remarcabile. Mă întreb dacă e vreo altă metodă de a rezolva limita nefolosind reguli din astea sau calcule și metode numerice. Poate e o întrebare bună și nu mi-am prea bătut capul cu asta.

Oricum acum cu tehnologia asta calculele și metodele numerice, adică aproximările stau la baza rezolvării multor probleme de ale noastre. Cu cât calculatorul și softul sunt mai performante cu atât obții un rezultat mai exact și mai rapid folosind aproximările. Bătaia de cap era pentru cei ce trăiau pe vremea când nu erau calculatoare, acum totul e mai ușor...

M-am gândit la o chestie.[(3^dx-1)/dx] o scriem la general ca (a^n-1)/n când n tinde la 0. Asta se poate scrie dacă facem o substituție, substituindu-l pe 1/n cu y, y tinzând la infinit ca y*(a^(1/y)-1). Chestia asta trebuie să dea 1, sau altfel spus, pentru ce a ar da 1?
Deci y*(a^(1/y)-1)=1 deci y*a^(1/y)=1+y deci a^(1/y)=(1+y)/y adică a^(1/y)=1/y+1. Ridicând relația la puterea y obținem a=(1/y+1)^y și un deștept a zis după, aaa dar asta e ce a calculat acum ceva timp Jacob Bernoulli în dobânzile lui. S-o fi întâmplat așa?

Pai da. Asta am facut si eu, fara sa mai inlocuiesc 1/n cu y. Si nu faci decat se deduci acele limite remarcabile.
"a=(1/y+1)^y" este o limita remarcabila si "a" ala este egal cu "e". E tot una cu limita aia de care spuneam eu: "(1+n)^1/n"

De fapt toate limitele remarcabile egale cu "e" rezulta din reationamentul expus de mine. Asa s-a ajuns la ele.

Chestia asta clar că s-a calculat aproximativ numeric prima dată și după i s-a dat numele de e fiind des folosită. Acea limită remarcabilă era o metodă să calculezi dobânda compusă. Acum i se zice limită remarcabilă căci e des utilizată substituția cu e, dar până atunci nu exista noțiunea de limită remarcabilă ci doar de dobândă a lui Bernoulli care se calculează după un model din realitate, logic, al calculului dobânzii. Putând să ajungi de aici la dobânda aia e ușor să îți dai seama de proveniența și logica acelui număr. Cred că cam ăsta ar fi răspunsul complet fără să mai fim nevoiți să spunem cum s-a gândit Bernoulli la acea situație economică care e simplă de înțeles.

Nu prea am dat importanță limitei tale remarcabile să observ forma acesteia ci mai mult m-am concentrat pe cum cred eu că s-au întâmplat lucrurile cronologic, logic. Limita ta remarcabilă e o consecință a ceea ce a descoperit Bernoulli combinată cu ceea ce ai demonstrat mai sus și nu cred că toți vedeau asta din prima dacă nu o evidențiai, mai ales că el se crede că ar fi fost primul care să vorbească de acest e. M-am concentrat pe cum a pornit totul, așa cum se cere în întrebare de astfel, făcând corelații.

Va tin calea cu infinitul la calculele astea. Spor la treaba. Va astept.