Pentru a scrie cu ajutorul a trei cifre de 9, fără a folosi semne de operaţii, numărul cel mai mare posibil, am văzut din postarea precedentă că aranjarea etajată, adică 9^9^9, ne oferă soluţia.
Dacă încercăm acelaşi lucru cu 3 în loc de 9, vedem că 3^3^3 nu dă numărul cel mai mare, pentru că 3^27 este mai mic decât 3^33, În cazul lui 4, iar se schimbă situaţia, 4^256 fiind mai mare decât 4^44.
Am putea deduce o regulă, adică pentru care numere soluţia "etajată" ni-l dă pe cel mai mare; şi pentru care nu?
Desigur, în viaţa de zi cu zi nu ne ajută cu nimic nici deducerea, nici ne deducerea vreunei reguli.

Mie-mi suna a tema.
Tu astepti o regula: astepti degeaba, abordarea de genul 33^3 diferit de 3^33 se face numai prin incercari efective, deducerile nu te duc nicaieri.
Ori ai putea simplu sa te bazezi pe faptul ca x^xx va da intotdeauna cel mai mare numar fata de xx^x, lasandu-te sa analizezi numai x^x^x.
Hai s-o iau si eu: 2^22, 22^2, evident; sarind peste 7^77 vs 77^7 si 9^99 vs 99^9, se verifica.
Poti s-o abordezi logic: rezultatul unei functii exponentiale este exponential mai mare dupa fiecare ridicare la putere, deci un numar mic ridicat la o putere mare va da mai mult decat un numar mare ridicat lao putere mica.
Sau poti s-o iei cu logaritmii, in cazul cu numere compuse de 2 cifre precizate mai sus, cat despre numerele singulare ridicate la putere, cred ca poti sa mergi pe reguli daca tot vrei o "deducere" relativa: daca x este mai mare decat 3, x^x^x da cel mai mare numar in acest mod.

"daca x este mai mare decat 3, x^x^x da cel mai mare numar in acest mod."
Pe ce te bazezi când spui asta? E posibil să fie adevărat. Şi am putea să ne convingem de asta prin încercări, verificând în cazul lui 5, lui 6 etc. Dar eu nu voiam prin încercări (băbeşte), ci găsind cumva o demonstraţie.
P.s. Nu numai că nu e temă, dar eu cred că nici nu sună a temă.

Eu ce-am spus acolo? "Deducere relativa", si asta se face prin incercari si observatii, si am incercat si s-a verificat.
Eu ti-am dat o posibila abordare pentru formatul xx^x si x^xx, despre x^x^x am vazut ca tot de la 3 incepe exponential sa creasca, cat despre regula eu personal nu pot gasi, dac-ar fi s-o iau pe grafic pentru fiecare format exista intersectia exponentialei x^xx si x^x^x in valoarea aia 3, lucru care ma depaseste; mergi pe interpretare, fa niste grafice si poate scoti ceva de acolo.

Am încercat aşa: Fiind vorba de trei cifre identice, să notez cifra cu a. Aşezării 2^22, 3^33, 4^44 îi corespunde reprezentarea: a^(10a +a), adică a^(11a).
Reprezentarea etajată va fi de forma: a^a^a. Urmează să văd pentru ce valoare a lui a va da acest mod de reprezentare (etajată) un număr mai mare decât primul. Baza ambelor expresii este aceeaşi. Deci valoarea mai mare o va avea expresia cu exponentul mai mare. Rămâne de văzut când avem a^a > 11a. Sau, împărţind prin a, când avem a^(a-1) > 11. Se observă că inegalitatea asta se verifică pentru a > 3, pentru că 4^(4-1) > 11, iar 3^2 şi 2^1 sunt mai mici decât 11.
Ce zici, ar merge?

Din cate inteleg sunt doua scrieri:
"a^a^a" sau "a^aa", unde "a" este numar intreg (?)
iar intrebarea este care din cele doua moduri de scriere are rezultatul maxim.
Exista deci o functie f(a)=a^a
Si puteam definiti functia g(x)=a* 10^n+a, unde "n" este cate cifre are numarul.
Spre exemplu, pentru a=25, n=2, iar g(25)=25*100+25=2525

Derivata primei functii, care ne da rata de crestere a functiei, este direct proportionala cu a^a.
f(a)' = (ln a +1) * a^a

Derivata lui g(a) este (10^n+1)*a^2/2
Ceea ce inseamna ca, pentru n=1, rata de crestere va fi 5, 5 * a^2.
Pentru n=2, derivata va fi 50, 5 * a^2

Daca facem diferenta h(a)=f'-g' se constata ca intersecteaza axa Ox in doua puncte, unul fiind 0, iar celalalt in jur de 3. In rest este pozitiva pe intervalul [3; 9].

Daca verificam pentru n=2, adica g'(a)=50, 5 *a^2, h(a)=0, pentru a=0 si a≈4, fiind pozitiv crescatoare pe intervalul [10, 99]

Îmi pare corect raţionamentul. Eu am mers pe o variantă mai simplă, să-nţeleagă tot românul. Chiar, ce zici de răspunsul meu de deasupra?

Am mers pe derivata in ideea ca voi putea gasi o regula generala, dar tot trebuie sa am cate o derivata diferita pentru fiecare categorie de numere: [0, 9]; [10, 99]; [100, 999], etc
Nu stiu cum poti afla raspunsul pentru toate numele posibile, fie ca e un numar din trei cifre, fie ca e din zece cifre.

Ar trebui sa exprimi numarul de cifre "n" in functie de valoarea numarului "a".
Practic pentru:
a∈[0, 9], n=1
a∈[10, 99], n=2
a∈[100, 999], n=3
etc
Nu stiu daca poti gasi o asemenea functie. Adica o expresie matematica, care pentru numere cuprinse intre 0 si 9 imi da valoarea 1, dar pentru numere cuprinse intre 10 si 99 imi da valoarea 2, si asa mai departe.

"ce zici de răspunsul meu de deasupra?"

Pai amandoi am inteles ca ce conteaza cu adevarat este valoare exponentului. Deci practic comparam "a^a" cu "aa".
Numai ca tu te-ai concentrat doar pe numere de o cifra.

Ce vrem sa comparam, pentru cazul general, este a^(a-1) fata de 10^n+1, unde n=numarul de cifre.
Definim: f(a)=a^(a-1) si g(n)=10^n+1

Cand f(a)>g(n), atunci x^x^x > x^xx
f(a)=a^(a-1) este o functie monoton crescatoare (?), presupun. Asa pare. Daca nu chiar strict crescatoare.
Ceea ce inseamna ca daca a2>a1, atunci f(a2)>f(a1)

Un lucru important, deoarece daca vrem sa aratam ca, pentru numere de doua cifre, f(a)>g(2), tot ce trebuie sa aratam este ca f(10)>g(2). g(2) fiind constant si egal cu 101, iar functia f(a) fiind crescatoare, inseamna ca atat timp cat f(10)>g(2) si restul valorilor f(11), f(12) vor fi mai mari decat g(2)=101.

Asta inseamna ca pentru numere de trei cifre va trebui sa aratam ca f(100)>g(3), pentru numere de patru cifre ca f(1000)>g(4), si asa mai departe.

Singurele valori pe care "a" trebuie sa le ia sunt multipli de zece.

Exista o relatie intre aceste numere: n=LG(a)+1, unde LG este logaritm in baza 10.
Putem sa inlocuim deci pe "n" si sa obtinem noua functie g(a)=10^(1+LG a)+1
Acum avem doua functii cu o singura variabilea, "a".
h(n)=f(n)-g(n)=a^(a-1)-10^(1+LG a)+1
Demonstrezi ca functia h(n) este crescatoare, demonstrezi ca x^x^x>x^xx

Interesant cum ai abordat tu problema, urmărind să ajungi la o generalizare. De fapt, eu avusesem în vedere doar intervalul (0 - 9). Trebuia să fiu mai specific în enunţarea problemei.

E corect?

Nu ştiu ce să zic. Ceva parcă scârţâie pe acolo, dar nu-mi dau seama ce nu e în regulă.

Asa cum ai spus si tu Sabin, daca vrei sa arati ca a^a^a > a^(aa), pentru numere de o cifra, trebuie sa arati ca:
a^(a-1)>11
Si aici ai aratat tu foarte bine cum stau lucrurile.


Similar, pentru numere de doua cifre, trebuie sa aratam ca:
a^(a-1)>101

Daca inegalitatea aceasta este respectata pentru valoarea minima pe care "a" o poate lua, adica a=10, atunci inseamna ca inegalitatea va fi respectata si pentru restul valorilor (mai mari!) pe care "a" le poate avea, terminand cu a=99. Deoarece a^(a-1) este functie strict crescatoare.

Practic tot ce trebuie sa aratamaici este ca inegalitatea ramane valabila pentru a=10.

In adevar:
10^9>101
Putem concluziona ca, pentru toate numerele de doua cifre,:
a^a^a>a^(aa)



Pentru numere de trei cifre trebuie sa aratam ca:
a^(a-1)>1001

Si desigur putem aplica rationamentul de mai sus: Nu trebuie sa demonstram decat ca a^(a-1)>1001 pentru a=100, si se va subintelege ca acest lucru ramane valabil pana la a=999.


Pentru cazul general, trebuie sa aratam ca:

a^(a-1)>10^n+1,
unde n=numarul de cifre

Si aici am facut eu acel artificiu. Din moment ce mereu ne intereseaza valoarea primului termen a lui "a", care este mereu un multiplu de zece (10, 100, 1000, etc), putem sa il exprimam pe "n" ca fiind n=log(a)+1

Exemple:
Cand vorbim de numere de doua cifre vom avea
a=10, iar
n=log(10)+1=2
, corect, caci sunt doua cifre, deci n=2.
Numere de trei cifre:
a=100,
n=log(a)+1=3
Corect: n=numarul de cifre=3.

etc.


De aici incolo presupun ca restul era limpede, asa ca nu mai detaliez.

Eu nu am reusit sa imi dau seama daca este ceva gresit in logica de mai sus.