Pentru ce s-au inventat logaritmii?
Oricine care a trecut pe la scoală îsi va da seama cu usurinţă că, ridicând un număr "a" la o putere egală cu logaritmul în bază "a" a numărului "b", obţinem chiar numărul "b". - am luat doar un exemplu. Bine, dar la ce folosesc totusi acesti logaritmii? Pentru ce au fost inventaţi? A fost vorba de un simplu exerciţiu intelectual? sau de altceva? Neper, cel care a inventat primele tabele logaritmice, vorbeste astfel despre intenţia sa: "Am căutat, pe cât mi-a fost posibil, să mă debarasez de greutatea si plictiseala calculelor, care îndepărtează pe mulţi de matematică". Şi a reusit în felul acesta să se debaraseze de greutate? Laplace scria că: "inventarea logaritmilor, reducând calculele de mai multe luni la o muncă de câteva zile, parcă a prelungit de două ori viaţa astronomilor". Cum? În ce fel? Contemporanul lui Neper, Briggs, vizitându-l pe acesta în Scoţia, i-a spus la sosire: "Am întreprins această lungă călătorie cu un singur scop: să vă cunosc si să aflu prin ce mijloace si prin ce artă aţi ajuns la ideea acestui minunat ajutor pentru astronomie - logaritmii. De altfel, acum mă miră mai mult faptul că nimeni nu i-a găsit mai înainte - atât de simpli par după ce îi cunosti". Bine, să admitem că ar fi necesari, dar 3 sau 4 zecimale pentru mantisa unui logaritm nu ar fi de ajuns? Tabelele lui Briggs conţineau 14 zecimale. Pentru ce atâtea? Si lucrurile nu s-au oprit aici. Callet publica în Franţa (1795) tabele de logaritmi cu 20 de zecimale. Tabelele lui Wolfram (logaritmi naturali) au 48 de zecimale, ale lui Sharp, 61, iar ale lui Adams, 260. Pentru ce toate astea?
Si încă ceva. Cum s-au calculat acesti logaritmi? Cum s-a ajuns, de exemplu, la valoarea logaritmului în bază 7 din 5? Cu, să zicem, 20 de zecimale?
Ordonare:
Cronologică
Întreabă-i pe ăia de i-au inventat 
Logaritmii ca logaritmii, dar integralele ce rost au?! Sau polinoamele?
Răspunde
S-au inventat logaritmii pentru a avea o operație inversă ridicării la putere
Integralele (cele definite) s-au creat pentru a putea calcula aria și volumul unui corp rotund, corbat.
Spre exemplu nu poți afla formula pentru volumul unei sfere fără a folosi tehnici de calcul specifice integralelor.
Polinoamele sunt utile în aproximarea valorile unor funcții greu de calculat (sinus, cosinus...) folosind seria Taylor.
Cand nu existau calculatoare de nici un fel, nici mecanice, înmulțirea unor numere cu multe cifre necesita mult timp.
Dacă aplici logaritmul pa prosusul a două numere, rezultă că trebuie să aduni doi logaritmi. Ai aflat logarimtul produsului prin această adunare. Te uiți în tabelul de logartimi acum invers. De la logaritm, afli numărul pe care l-ai fi aflat dacă ai fi înmulțit minute îi șir cele două numere foarte mari, aplicând algoritmul înmulțirii. Deci unul din motive este că poți folosi tabelul pe post de calculator.
Ti-ai raspuns singur la intrebare. Avem nevoie de logaritmi pentru calcule mai simple cu puteri.
Ca sa ii raspund si lui InYourMind(asta ca sa nu fac 2 raspunsuri), integralele si polinoamele ne ajuta si ele extrem de mult. Cum altfel puteam calcula in proiectare? Cand vine vorba de calcule complexe, trebuie sa folosim operatii complexe.
Pana sa nu ajung la facultate le uram. Acum ca le inteleg(nici acum nu mor dupa ele), imi dau seama ca sunt foarte importante si fara ele nu prea se poate nimic.
Eu am folosit logaritmii in mod practic la Finante in facultate, legat de dobanda compusa. Ca sa afli, de exemplu, in cati ani o suma depusa de 1000 lei devine 2000 lei, la o rata a dobanzii de 3% cu compunere lunara, aplici formula dobanzii compuse si afli numarul de ani, folosind logaritmul. La fel si pentru dividende pe perioada determinata, obligatiuni etc. Logaritmii i-am mai folosit si la Statistica, pentru a forma si de interpreta mult mai usor graficul de variatie care include valori foarte mari si cu un ecart prea mare intre ele.
Bun, dar de ce sa mai încercăm sa o aflam când acest lucru a fost făcut deja?! Exista tabele cu valori.
Și ce a fost mai întâi: (ma refer strict la exemplele date): formula pentru volumul sferei sau integrala? Sinusul sau polinomul?
Oare prima a fost algebra? Sau geometria? Sau analiza matematica?
În mare fac calculele mai simple pentru că transformă înmulțirea în adunare. Gândește-te, e mult mai ușor să aduni numere decât să le înmulțești.
Uită niște videoclipuri (în engleză) ce explică mai bine:
https://www.youtube.com/watch?v=VRzH4xB0GdM
https://www.youtube.com/watch?v=vzV50goW_WM&t=176s
Le învățăm ca să ne pregătim mintea pentru a rezolva probleme ce nu s-au rezolvat încă. Dacă îți trebuie să afli volumul unui corp rotund care nu e sferă (li se mai întâmplă inginerilor) ce faci? Folosești imtegrala și concepte de anaiză.
În cazul sferei, formula o știam din antichitate, dar nu știam cum a aflat-o Arhimede (a folosită o metodă similară sumelor Reimann), dar folosind integrala e mult mai ușor. De asemenea am foloait idea asta și pentru a afla alte lucruri, deci nu e numai pentru a explica ceva ce știam.
Sigurqt primadată a fost sinusul, dar există niște unhiuri al căror sinusne foarte greu să-l calculezi ( calculează sin111°, nu poți) și calculatorele tot metode cu seri Taylor folosesc pentru așaceva.
În cazul logaritmilor, nu mai sunt așa de importanți cum erau odată, dar tot ai nevoie de ei, numărul e și logarimul natural e cheie în analiză. De aia se studiază, doar nu te-a pus nimeni să calculezi în cifre ln7.
Prima a fost aritmetica (pe care o învățăm în 1-6), după au fost niște concepte de geometrie, ba algebră. Dar în Grecia antică a fost formalizată geometria (în greacă geo-metria=măsurarea pământului), în special de Euclid. După prin 800 dHr a fost formalizată și algebra (în arabă al-jabr=reuniunea părților rupte) de Akwarizmi. Pe la 1600 Descartes le-a unit pe cele două în ce numea el Geometrie Analitică. Abia la final de secol XVII Newton și Leibniz au descoperit simultan, dar independent, analiza.
Dacă te interesează istoria matematicii este un documentar BBC, The story of maths.
La finante despre dobanda compusa, de exemplu, ce ma interesa pe mine sa aflu era numarul de ani. Acolo putea sa-mi dea un rezultat si cu 4 zecimale, dar pe mine ma interesa numai prima zecimala care indica luna. De exemplu, in 7.8 ani o sa ai suma x, deci in 7 ani si 8 luni. In rest, la statistica, pe tot parcursul materiei, mi-au folosit cat mai multe zecimale, indiferent la ce capitol eram si ce variabila calculam. Tin minte ca aveam un profesor, care, atunci cand calculam niste indici, ne punea efectiv sa notam undeva toate zecimalele de pe calculator, rezultat pe care trebuia sa-l integram in alta formula si aia in urmatoarea si tot asa. La statistica, finante si gestiune financiara am intalnit multe probleme cu rezolvare in cascada, unde chiar erau necesare cat mai multe zecimale pentru a fi cat mai aproape de un raspuns corect si care sa reflecte realitatea. Deci uneori, nu te intereseaza toate zecimalele si poti aproxima, alteori da, in functie de ce scop urmaresti in problema.
Am învățat destul când am dat bacul, nu vreau să-mi mai amintesc
De menţionat că în cazul Adams, despre care am scris în întrebare, nu este vorba de tabele, ci numai de asa-zisii logaritmi naturali pentru cinci numere: 2, 3, 5, 7 si 10 si un multiplicator (cu 260 de zecimale) pentru transformarea lor în logaritmi zecimali. Nu e greu să ne dăm seama că, având la dispoziţie logaritmii acestor cinci numere, putem obţine prin adunare si înmulţire logaritmii unui întreg sir de numere compuse; de exemplu, log 12 e egal cu suma log 2 + log 2 + log 3 etc.
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
