Pentru iubitorii de lucruri mai abstracte.
Precizez de la început că nu este o temă. Dacă totuşi cineva suspectează că ar fi o temă, îi sugerez să întrebe toţi profesorii pe care îi cunoaşte şi va afla că aşa ceva nu este şi nu a fost niciodată temă. Deci,
Imaginaţi-vă un cerc de rază 1 şi cele două diametre tradiţio... pardon, perpendiculare (nu era chiar greşit nici tradiţionale). Un arc de lungime 1 este aşa-numitul arc de un radian; iar unghiul la centru care îl cuprinde între laturile sale este unghiul de un radian. Până aici nimic nou. Luăm în primul pătrat de cerc un arc AB de lungime oarecare L (punctul A fiind la intersecţia cercului cu diametrul orizontal). Unghiul la centru care cuprinde acest arc va fi tot L (în radiani). Păstrând punctul A fix, desfăşurăm arcul AB până îl aducem în poziţie verticală. Segmentul vertical AB obţinut are, evident, tot lungimea L. Este interesant de observat traseul pe care-l parcurge punctul B în timpul acestei desfăşurări. Acesta a descris o curbă. Ce fel de curbă? Pentru cei care au ştiut dar au uitat, le reamintesc eu. Este vorba de evolventă. Curba aceea care defineşte profilul dintelui la mecanismele cu roţi dinţate.
Acum vă las pe voi să ghiciţi. Ce lungime are această porţiune de evolventă?
Dacă aţi ghicit, continuăm. Menţinem fix capătul segmentului vertical şi desfăşurăm evolventa noastră până o aducem în poziţie orizontală. Se descrie un nou arc de evolventă. Ce lungime are acesta?
P.S. Întrebarea este pentru cei amatori de astfel de probleme. Dar, bineînţeles, îşi poate da cu părerea oricine.

Dacă unei probleme de Analiză i se poate da şi o interăretare geometrică, aceasta devine mai palpabilă; sau mai uşor de înţeles. Un caz clasic este acela al derivatei. La prima vedere nu ştii de unde s-o iei; sau cum de a apărut ea ca noţiune. Dar, desenezi o curbă şi o aşezi într-un sistem de coordonate. Apoi arăţi că în orice punct al acestei curbe se poate duce o tangentă (geometrică), iar tangenta asta face un unghi cu orizontala. Ei, derivata este tocmai tangenta trigonometrică a acestui unghi. Cunoscând aceasta, ai scos noţiunea de derivată din "ceaţă" şi poţi vedea că are un sens.
Ceva asemănător se poate spune şi cu referire la problema postată mai sus.

Nu-i frumos să lăsăm problema de izbelişte Faptul că eu vin şi cu rezolvarea este o dovadă în plus că nu a fost temă.
Lungimea primului arc de evolventă (deci şi a segmentului orizontal obţinut prin desfăşurarea acesteia) este L^2/2. Reamintesc că L este mărimea (în radiani) a arcului, respectiv a unghiului de la care am plecat. Lungimea celui de al doilea arc (deci şi a noului segment vertical obţinut prin desfăşurare) este L^3/6. Demonstraţia pentru asta nu este grea, dar nu o pot arăta aici pentru că nu am cum să reprezint grafic datele problemei. Rămâne să luăm aceste rezultate aşa cum sunt. Continuăm, prin acelaşi procedeu, să desfăşurăm următorul arc de evolventă. Vom obţine un alt arc (şi un alt segment orizontal) de lungime
L^4/24 ş.a.m.d.
Revenind la cerc, la arcul şi respectiv la unghiul de la care am plecat, putem stabili o legătură între mărimea segmentului vertical care îl defineşte pe sin X (am pus X în loc de L) şi mărimile segmentelor verticale (deci numai a celor verticale) pe care le-am obţinut prin desfăşurările succesive. Şi ce să vezi? Segmentul care îl defineşte pe sin X e ceva mai mic decât segmentul vertical AB obţinut la desfăşurare (deci este mai mic decât X). Mai scădem ceva. Dar acest ceva este puţin prea mult. Şi atunci mai adăugăm ceva; care iar e prea mult. Şi tot aşa, până stabilim valoarea lui sin X, după cum urmează:
sin X = X - X^3/3! + X^5/5! - X^7/7!
Nu că e interesant? Am interpretat geometric expresia unei serii bine cunoscute în matematică.
La fel se ajunge şi la formula lui cos X, folosindu-ne de data aceasta de segmentele orizontale obţinute la desfăşurări.

Cine crezi ca sta sa-ti analizeze tie problema? Dovada ca de 21 de ore de cand ai postat-o, sunt al doilea care iti raspunde.

M-ai bagat in ceață