Se poate aproxima o functie cunoscand derivata, fara a sti cum sa o integram?
Daca stim ca dy/dx=2x, atunci integrand putem afla ca Y=x^2
Dar sa presupunem ca nu stim sa calculam asta, nu stim sa integram. Putem afla cu cat este egal Y?

Stim ca dy/dx reprezinta cat variaza functia pe axa Oy, raportat la anumita variatie pe axa Ox. Variatia pe verticala raportat la o anumita variatie pe orizontala. Practic cat de sensibila este functia.

Asa ca, teoretic, daca am cunoaste un punct de pelcare al functiei Y, sa spunem ca Y(3)=9, atunci am putea aproxima intreaga functie adunand aceasta variatie "dy" la punctul anterior, sau scazand aceasta variatie daca vrem sa aflam valorile anterioare lui 3.

Daca stim ca Y(3)=9, atunci Y(4)=Y(3)+dy
Stim cat este variatia dy/dx in punctul 3, este dy/dx=2x=2*3=6.
Deci Y(4)=Y(3)+6=9+6=15

Din moment ce deja cunoastem functia integrata x^2, ne putem verifica. Trebuia sa obtinem 4^2=16, nu 15.

Pare sa fie "pe acolo", dar de ce eroarea asta asa de mare, eroare de o unitate? Unde am gresit?
Sau mai bine spus, cum putem face aproximarea si mai exacta?

Si de ce este pana la urma doar o aproximare, iar nu valoarea exacta? Nu am interpretat corect derivata, unde s-a gresit?

P.S: Prin procedeul descris mai sus am putea aproxima intreaga functie, de la un punct la altul.

Partikip

"Se poate aproxima o functie cunoscand derivata, fara a sti cum sa o integram"

da, se poate, am facut asta la un examen, pentru ca nu stiam integrale

Y(4) = y(3) + dy -> corect (ai adunat două segmente)
y(4) = y(3) + dy/dx -> incorect (ai adunat un segment cu un raport)
Nu aduni mere cu pere.

Asta ar fi o eroare. Insa ai putea spune ca am considerat dx=1, pentru ca de la 3 la 4 este diferenta de o unitate. Unde mai e eroarea acum?

Tu ştii astea, dar vrei să provoci
dy/dx este o trecere la limită a raportului (y2 - y1)/(x2 - x1). Este oricum un raport, nu o lungime de segment. Este, practic, tangenta trigonometrică a unghiului pe care îl face cu orizontala tangenta geometrică într-un punct al curbei. Asta nu are nimic de-a face cu diferenţa dintre înălţimile la care se situează faţă de orizontală două pncte de pe curbă. Distanţa de la M2 la orizontală este mai mare decât distanţa de la M1 la aceeaşi orizontală cu (y2 - y1); atât. Nu este implicat nicicum raportul dy/dx, chiar dacă diferenţa măsurată pe abscisă este de o unitate.

"Asta nu are nimic de-a face cu diferenţa dintre înălţimile la care se situează faţă de orizontală două pncte de pe curbă."

Daca ai doua puncte A(x1; y1) si B(x2; y2) atunci diferenta (y2-y1) reprezinta fix asta: diferenţa dintre înălţimile la care se situează cele doua puncte faţă de axa Ox.

Intr-adevar, in cazul derivatei punctul B tinde catre punctul A. Deci practic nu mai discutam de doua puncte distincte, ci de un singur punct.


Poti considera dx=1, dar aproximarea va fi una grosolana.
Cu cat valoarea lui dx este mai apropiata de zero cu atat aproximarea va fi mai buna.

Daca am considera dx=1, am obtine Y(4)=15, in loc de valoarea reala: Y(4)=16.

Considerand dx=0, 1, obtinem valori mai paropiate de realitate Y(4)=16,7
Pentru dx=0, 01, Y(4)=16,07, si asa mai departe.

Dacă dx = 0.1 obţinem y(4) = 16, 7? Prin ce calcul?

Am calculat gresit. De fapt valoarea obtinuta este y(4)=15,9.
Chiar mai bine!

Daca am coinsidera un pas de 0, 1 atunci am avea 10 puncte pana la punctul de de abscisa 4 inclusiv. Abscisa acestor puncte intermediare va fi: 3, 1; 3, 2; 3, 3, ... 4
Fiecarea valoare se obtine adaugand un increment dx=0, 1 la abscisa punctului anterior.

Putem aproxima variata ordonatei fiecarui punct cunoscand derivata functiei dy/dx=2x.
Ceea ce inseamna ca variatia ordonatei va fi aproximativ egala cu dy=2x*dx=2x*0.1
Atentie,discutam de variatia oronatei unui punct, nu de valoarea ordonatei in sine. Practic cu cat a variat ordonata unui punct fata de valoarea ei anterioara.

Pornind de la punctul ce are X=3, putem calcula variatia abscisei punctului urmator avand X=3, 1.
Pentru punctul de abscisa X=3, 1, variatia ordonatei va fi dy1=2x*0,1=2*3*0,1=0,6
Pentru punctul de abscisa X=3, 2, variatia ordonatei va fi dy2=2x*0,1=2*3,1*0,1=0,62
X=3,3 --> dy3=2x*0,1=2*3,2*0,1= 0, 64
X=3, 4 --> dy4=2x*0,1=2*3,3*0,1= 0, 66
X=3, 5 --> dy5=2x*0,1=2*3,4*0,1= 0, 68
X=3, 6 --> dy6=2x*0,1=2*3,5*0,1= 0, 7
X=3, 7 --> dy7=2x*0,1=2*3,6*0,1= 0, 72
X=3, 8 --> dy8=2x*0,1=2*3,7*0,1= 0, 74
X=3, 9 --> dy9=2x*0,1=2*3,8*0,1= 0, 76
X=4 --> dy10=2x*0,1=2*3,9*0,1=0,78

Toate aceste variatii ale absciselor punctelor, insumate dau variatia totala "DY" a abscisei de la punctul de abscisa 3 la cel de abscisa 4.

DY=dy1+dy2+dy3+...+dy10 = 0, 6+0, 62+0, 63+...+0, 78=6, 9

Cunoscand conditia initiala, si anume ca Y(3)=9, putem aproxima ordonata punctului urmator Y(4) ca fiind:
Y(4)=Y(3)+DY=9+6,9=15,9




Si pentru a nu crede ca este o simpla coincidenta mai dau inca doua exemple:
Y(8)=64
Cunoscand faptul ca Y(7)=49 si aplicand metoda de mai sus, pentru un dx=0, 1, se obtine Y(8)=63,9
Si un exemplu cu o valoare mai mare:
Y(48)=2304

Cu metoda aproximativa Y(48)=2303,9

P.S.: Atat metoda de calcul din intrebare, cat si aceasta, sunt corecte, deoarece ambele aproximeaza rezultatul.
Din raspunsul tau se intelegea ca ar fi ceva gresit la metoda de calcul. In realitate nu este, ambele aproximeaza functia. Motivul pentru care, in intrebare, eroarea era atat de mare este ca si pasul de calcul ales "dx" avea valori mari dx=1. Dar ca si principiu de de calcul aproximarea este corecta.

Ca o concluzie,
Să zicem că nu ştim să calculăm integrala, cunoaştem dosr derivata - 2x în exemplul pe care l-ai dat. Cum aflăm, prin metoda pe care ai prezentat-o, că e vorba de o parabolă? Alegem punctul de abscisă 3. Cum ştim că ordonata acestui punct este 9? Derivata ne dă 6, nu 9. Asta una. Apoi, da, făcând acele calcule cu dx = 0, 1 pe intervalul 3 - 4 obţinem un arc de curbă care poate fi asimilat cu o parabolă. Primitivă metodă, dar asta e.

Mă întreb cum ai face în cazul ]n care derivata are o formulă mai sofisticată.

"Mă întreb cum ai face în cazul ]n care derivata are o formulă mai sofisticată."

Pai tu unde crezi ca m-am lovit eu de problema asta?
Initial studiam modelul matematic SIR pentru o epidemie. Care are trei ecuatii diferentiale. Una pentru persoanele susceptibile de a fi infectate, alta pentru persoaneel care se infecteaza si o a 3-a pentru cei ce mor sau se vindeca.

Vorbim de relatii dificil de integrat.

Am facut in excel cateva simulari considerand dx=1. Interesant ca, in acest caz, dx=1 a fost un pas suficient de mic pentru ca graficul sa iasa bine.

Dupa m-am jucat cu alti parametrii, (cum ar timpul de infectare, rata de contact, etc) dar nu am reusit sa inteleg de ce apareau erori in grafic.

A trebui sa analizez un exemplu mai simplu (parabola din intrebare) pentru a imi da seama ca era de vina valoarea pasului "dx".

Iti dai seama ca asta nu e un calcul pe care sa il faci de mana. Poti sa il faci pe calculator. Si cred ca fix asa este calculata si derivata pe orice calculator. Cu o valaorea foarte mica a lui "dx". Calculatorul nu stie ce e aia valoare "infinit mica".

"Cum aflăm, prin metoda pe care ai prezentat-o, că e vorba de o parabolă?"
O reprezinti in excel. :))

"Cum ştim că ordonata acestui punct este 9?"
Asta presupunem ca stii. Trebuie sa ai un punct de plecare. Conditii initiale.

In cazul meu se cunostea numarul de persoane infectate si populatia respectiva la momentul initial: ziua 0.


Tu ce metoda ai prefera sa calculezi astea:
https://www.researchgate.net/......2_47676805
Metoda mea aplicand un program de calcul, sau metoda clasica de integrare? :))

"Primitivă metodă, dar asta e."

Aici gresesti. Depinde de context. Ce am prezentat mai sus poate simplifica enorm modul de calcul.

Plus că, dacă ești atent, metoda astas urprinde motivul pentru care integrală și derivata sunt inverse.