Suma unei progresii geometrice cu numar infinit de termeni:
1+1/2+1/4+1/8+1/16+...=?
Ce cunostinte de matematica iti trebuie pentru a raspunde la intrebarea asta?
Credeam ca este o problema care nu poate fi rezolvata intuitiv. Rationamentul matematica, desi nu este complicat, necesita anumite cunostinte elementare.
Va dati seama cat de surprins am fost cand am descoperit o explicatie atat de simpla incat si un copil de 6 ani o poate intelege.
"Gigel are un castravete.
Andrei are un castravete.
In prima zi Andrei ii da lui Gigel jumatate din castravetele lui.
In a doua zi Andrei ii mai da lui Gigel jumatate din bucata de castravete pe care o mai are.
Si tot asa."
Care este limita maxima de castraveti pe care Gigel o poate avea?
Evident: doi castraveti!
Este incredibil cum o simpla schimbare de perspectiva poate face o problema relativ complicata de-a dreptul triviala.
Mai mult decat atat, cam toate progresiile geometrice cu ratia subunitara pot fi rezolvate in acest fel.
Cum credeti ca putem rezolva urmatoarea suma aplicand un rationament similar?
1+1/3+1/9+1/27+1/81+... =?
Si daca va simtiti in stare:
1+2/3+4/9+8/27+...=?
Varianta aceasta intuitivă pleacă de la o generalizare. Aceea de împărțire a întregului mereu în jumătate. În clasele mici întregul poate fi reprezentat printr-o figură geometrică: de exemplu un cerc. O reprezentare vizuală este să desenezi un cerc. Dacă îl împarți în 2 jumătăți obții 1/2+1/2. Dacă pe cea de a doua jumătate o împarți în 2 jumătăți, obții totalul 1/2+1/4+1/4. Dacă pe unul dintre sferturi îl împarți în 2 jumătăți obții: 1/2+1/4+1/8+1/8. Mecanismul merge tot așa. Că cercul e o pizza, un cârnat sau un castravete, nu contează. Un întreg poate fi reprezentat prin orice. Cu atât mai bine ca ceva care se poate diviza. Acum nu știu dacă s-a schimbat perspectiva sau s-a făcut o analogie de la reprezentarea matematică a proporțiilor.
Celelalte probleme se rezolvă similar.
Poți împărți o pizza în 3. O treime e luată în calcul (1/3). Una dintre treimi o împarți tot în 3 și obții acel 1/9 și așa mai departe. Mereu va rămâne o parte în plus la fiecare divizare. Astfel se obține 1/2 din cerc. Intuitiv se poate hașura cercul. 1/2+1=1,5. Poți zice că Gigi împarte pizza în 3. O treime e furată, o treime e mâncată, o treime e păstrată. În a doua zi treimea păstrată o împarte tot în trei. O treime e furată, una e mâncată etc. Cât a mâncat Gigi din pizza?
La al doilea exemplu e la fel ca analogia cu pizza, numai că lui Gigi nu i se mai fură, el mănâncă ce trebuia să i se fure. Deci mănâncă 2/3. El vrea însă să împartă mereu 2 treimi în alte 2 treimi, deci mai are nevoie de o treime din altă pizza (că din actuala pizza îi rămâne o treime). Astfel Gigi va putea mânca doar 2 pizza menținând regula de divizare. Mai adaugi 1 și rezultatul e 3.
Răspunde
Ordonare:
Cronologică
E foarte buna metoda. La 1/2 e mai evidenta rezolvarea.
"Gigel are un castravete.
Andrei are 1/2 castraveti.
In prima zi Andrei ii da lui Gigel 2/3 din castravetii lui.
In a doua zi Andrei ii mai da lui Gigel 2/3 din castravetii pe care ii mai are.
Si tot asa."
Care este limita maxima de castraveti pe care Gigel o poate avea?
Evident: 3/2 castraveti!
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
"Gigel are un castravete.
Andrei are 2 castraveti.
In prima zi Andrei ii da lui Gigel 1/3 din castravetii lui.
In a doua zi Andrei ii mai da lui Gigel 1/3 din castravetii pe care ii mai are.
Si tot asa."
Care este limita maxima de castraveti pe care Gigel o poate avea?
Evident: 3 castraveti!
Răspunde
Dacă avem o formulă aşa de simplă pentru sumă 1/(1-q), de ce să ne mai complicăm? Nu se recomandă întotdeauna calea cea mai simplă? 
Da, se rezolva cu progresie geometrica. Ai primul termen la ambele b1=1, la prima ai ratia q=1/3, iar la a doua ai ratia q=2/3.
Formula este
Sn = b1*(((q^n)-1)/(q-1))
Atunci cand ratia este 1/2 explicatia cu castraveti este mult mai intuitiva.
Sunt curios ce raspuns ar prefera un copil de 6 ani. Ca trebuie sa aplicam o anumita formula, sau rationamentul meu din intrebare.
In definitiv nu este deloc evident de ce formula 1/(1-q) functioneaza.
Poti sa te uiti la expresia asta mult si bine pana sa te prinzi de unde provine. Iar de nu ai cunostinte aritmetice iti garantez ca nici cu demonstratia in fata nu ai avea mare succes. Asa ca cine rezolva problema pana la urma:tu sau matematica?
Pentru ca este una sa zbori construind un avion si cu totul alta sa zbori de unul singur.
Nu este asa de evident.
De exemplu daca Gigel ar avea 10 castraveti si ar da 2/3 din ei atunci in final Andrei ar tinde sa aiba 20/3 castraveti, iar nu 3/2.
Daca Gigel ar avea 100 de castraveti rezultatul ar fi 200/3.
Nu vad cum poti afla cati castraveti a dat Gigel atat timp cat nu cunosti cantitatea initiala pe care o avea.
De fapt, cand numarul termenilor "n" tinde la infinit, iar ratia "q" este subunitara, termenul "q^n" tinde la zero.
Asa ca formula devine:
Sn=-b1/(q-1)=b1/(1-q)
Corect. In poza https://ibb.co/KGrP1SQ se vede ca pentru a afla cantitatea initiala de castraveti notata cu c am rezolvat un sistem si am aratat ca fiecare termen se obtine inmultind restul de castraveti cu numarul d. Continuand procedeul la infinit, Andrei termina cantitatea c de castraveti, deci suma va fi 1+c unde c si d sunt aflati din sistem si rezolvarea e pentru orice ratie pozitiva subunitara b. (Am folosit notatii in ordine alfabetica, nu am folosit notatiile obisnuite cu b si q).
Deci aflu cantitatea initiala de castraveti cunoscand ratia pozitiva si subunitara, dar lucrul asta nu e asa de usor pentru cineva care nu stie matematica. Oricum, problema implica prezenta unor cunostinte de matematica: numere, adunare, scadere, inmultire, ridicare la putere, relatia de ordine. Prin metoda asta se elimina nevoia de a folosi limita in mod direct, dar tot ramane o problema, aceea de a arata in mod clar ca dupa un numar infinit de pasi Andrei ramane fara castraveti, deci nu scapam de limita si atunci ramane varianta normala care calculeaza exact suma seriei unei progresii geometrice in functie de ratia progresiei. (seria e convergenta daca modulul ratiei e strict mai mic decat 1 si e divergenta cu limita infinita sau fara limita atunci cand modulul ratiei e mai mare sau egal cu 1)
-
anonim_4396 întreabă:
2 răspunsuri
Răspunsul este publicat...
Te rugăm să aştepţi ca răspunsul tău să fie trimis spre publicare.
