Toti stim sa rezolvam ecuatii cu puteri de forma X^3=8 si aproape toti stim sa rezolvam ecuatii exponentiale: 3^x=8. Nimic interesant pana aici.
Insa ce spuneti de o ecuatie in care necunoscuta se regaseste de un numar infinit de ori? Ceva ce arata cam asa:
http://i.imgur.com/NNYuvxO.png
Cum ati incerca sa rezolvati o asemenea grozavie? O problema pe care sunt convins ca nu ati intalnit-o in liceu sau facultate, caci neexistând un anumit algoritm de rezolvare, ci doar o combinatie intre noroc si perspicacitate, nu poate fi utilizata in scopuri didactice.

O rezolvare intuitivă ar fi că exponentul a lui x^(x^x^x^x...) (1) este x^x^x^x...(2) deci (1)=(2) și știm că (1)=2 deci x^2=2 deci x = radical din 2. Păi așa o fi? Mi-am pus acest semn de întrebare căci nu e prima problemă rezolvată asemenea intuitiv care este eronată.
Deci x=radical din 2.
O să denumesc funcția radical ca fiind r, r(x)=radical din x.
x^x=r(2)^r(2)=1.63252691944(o să mă lipsesc de...)
1. 63252691944^r(2)=2
2^r(2)=2.66514414269
2.66514414269^r(2)=4
4^r(2)=7.10299330132
7.10299330132^r(2)=16
16^r(2)=50.4525138385
50.4525138385^r(2)=256 și tot așa
Deducem că din 2 în 2 termeni avem precedentul termenului precedent ridicat la pătrat, adică r(2)^2=2, 2^2=4, 4^2=16, 16^2=256 etc. iar între acești termeni avem tot termeni crescători, ceea ce e absolut normal. Deci rezultatul în cazul r(2) tinde la infinit, deci nu e cel corect. Aceste trick-uri nu prea țin în matematică.
Din punctul meu de vedere acea ecuație nu are soluții.

Cum numarul radical din 2 are un numar infinit de zecimale este obligatoriu sa lucram cu valoarea exacta. Mai ales in cazul asta in care teoretic sunt importante absolut toate zecimalele pentru a calcula limita.
Asa ca nu stiu cum ai facut calculele, insa lucrând cu valori exacte am obtinut:
sqrt(2)^sqrt(2)=1.632
sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2)=1.76
sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2)=1.84
sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2)=1.96
Rezultatul tinde spre 2.

Apropo,nu e nici un "trick".
https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration

Poți calcula cu un calculator. Eu cred că chiar și așa dacă ai mai calcula clar ai depăși valoarea 1.96.
Să zicem că denumim sqrt(2)=x (cum am stabilit că se numește necunoscuta)
x^x=1.632 (2) ai zis.
x^x^x^x^x^x^x^x=1.96.(1)
Tu normal că o să ridici (1) la (2) în continuare.
1.96^1.632=2.998.
Dacă mai efectuai 2 calcule deci îl depășeai.

Lăsând calculele evidente care ne arată că tindem la infinit o să încerc să folosesc metoda reducerii la absurd.

Considerând această metodă corectă o să încercăm de exemplu să rezolvăm:
x^x^x^... = 4

x^x^x^... = x^(x^x^x^...) (în același mod în care am arătat asta în răspunsul anterior.)
Deci x^4 = 4 deci x= radical de ordinul 4 din 4.
r(2)*r(2)*r(2)*r(2)=4
Deci evident rezultatul e r(2) iar.
Conform celeilalte ecuații soluția presupusă e tot r(2) deci avem același x pentru ambele ecuații.
Deci x^x^x^x^...=2=4 deci 4=2 care este fals.

Având în vedere că 1.9 de exemplu = 1. 90000000... dacă înlocuiești acele 0-uri cu numere mai mari tu tot ce faci e să mărești rezultatul deci avansează chiar mai repede în modul ăsta.

Este o diferenta intre (sqrt2^sqrt2)^sqrt2, care face in adevar 2, si sqrt2^sqrt2^sqrt^2, care face 1.76.

Tu in loc sa faci x^x^x^x. =2, tu faci [(x^x)^x]^x=2. Calculezi alta ecuatie, de aia nu iti iese.

Cat despre acel rezultat paradoxal, este intr-adevar corect, insa nu demonstreaza ca radical din 2 nu ar fi solutia ecuatiei.

Ai dreptate, calculasem eu greșit.
Eu m-am gândit mai mult la rezultatul ăla "paradoxal" ce e drept.
De asemenea m-am gândit la un exemplu mai simplu.
Dacă: x+x+x+x+...=2
x+(x+x+x+x...)=2
x+2=2, x=0.
Asta e clar o eroare căci 0+0+0+0+...=2 e clar că nu are cum să fie adevărată. Cum ai explica asta?
Eu totuși mă gândesc că e cam același lucru cu cazul ăla când dă 4. Dacă facem calculele r(2)^r(2)^r(2)...=2(converge la 2). Nu prea poți spune că = 4 căci nu converge la 4 ci la 2. În cazul lui 4 nu cred că e corect chiar dacă în cazul lui 2 se pare că merge. Probabil metoda merge doar în cazul în care ecuația are soluții altfel dă o soluție care e cea mai bună adică care se apropie cel mai mult de adevăr, de rezultat, dar nu poți să o numești o soluție în adevăratul sens.

0+0+0 de infinit ori este echivalentul lui infinit×0, care e nedeterminare si POATE da 2. Tot asa cum poate da orice rezultat:3, 7, 2/3, etc.

Cazul de nedeterminare nu poate da nimic. 0+0+0+0... nu e o sumă existentă căci nu converge la nimic, nu are capăt(nu converge nici la o valoare finită, nici la o valoare infinită, de aia e caz nedeterminat fără să introducem alte demonstrații). Nedeterminarea nu înseamnă că poate lua vreo valoare. Deci nu e corect nici să spunem că e 0 nici să spunem că e 2. Știm că 0+0+0+0. nu are sens deci soluția găsită nu este bună.

Cât despre ce aveam r(2)^r(2)^r(2)...=2 dă asta pentru că converge la ceva. Tu nu poți spune că dă 4 deci metoda nu e aplicabilă nici în cazul ăsta. Ca o metodă să fie absolut validă trebuie să funcționeze pentru toate posibilitățile sau să impunem anumite condiții ca să meargă pentru toate posibilitățile. Pentru 2 soluția este bună, cred că și de aia e mai cunoscută sub forma cu 2 decât sub forma cu 4. Probabil demonstrația era una mai complicată însă s-a căutat o explicație mai simplistă. Metoda e bună ca un fel de rezultantă. Dacă r(2)^r(2)^...=2(1), r(2)^2=2(2)(se deduce din prima și dacă se poate deduce din prima se poate și reciproc). însă dacă r(2)^r(2)^r(2)^...=4 știm că nu e adevărat deci nu putem spune că reciproca ar fi adevărată. Eu la început am greșit cu calculele alea și am presupus că nu e așa și nu m-am mai gândit la altceva. Dacă îmi vine vreo idee te anunț.

In matematica nedeterminarile se rezolva, iar rezultatul poate fi orice valoare. In cazul propus de tine avea valoarea 2.