Vă invit puțin în lumea derivatelor. Derivate obișnuite, nu de-alea parțiale. Sper să nu confunde cineva cu temă. Nu, nu e temă. E o simplă discuție - puțin științifică, aș zice eu; deci în acord cu profilul acestei categorii -, deci o simplă discuție, care va avea, bineînțeles, la urmă și o întrebare.
Oricine știe ce e aia o derivată - mă refer la cei care au terminat liceul sau sunt încă elevi de liceu.
Interpretată geometric, derivata este tangenta trigonometrică a unui unghi. Simplu. Care unghi? Păi, imaginați-vă graficul unei funcții. Este o curbă, evident. Acum, într-un punct al acestei curbe ducem dreapta tangentă la curbă. Această dreaptă face un unghi cu orizontala. Ei, tocmai acesta e unghiul despre care e vorba. Tangenta trigonometrică a acestui unghi este derivata funcției în acel punct. Nu-i mare filosofie.
De exemplu, funcția x^2 se reprezintă grafic ca o parabolă. Derivata ei este 2x. Ce înseamnă asta? Păi, să considerăm un punct al acestei curbe care are x = 3. Derivata în acest punct este 6, pentru că 2*3 = 6. Deci, tangenta trigonometrică a unghiului pe care dreapta tangentă la curbă în acel punct îl face cu orizontala este 6. [Derivata lui sinx este cosx, ca să mai dau un exemplu.]
Nu mă îndoiesc că majoritatea știți toate astea. Le-am scris și eu pentru cei care le-au uitat.
Și acum întrebarea. Există un profil (o curbă) care este mult întâlnit în practica industrială: profilul dintelui de la angrenajele cu roți dințate. Funcția care redă acest profil se numește evolventă. Întrebarea e: îi corespunde și acestei funcții o derivată? Nu trebuie neapărat să-mi spuneți care este acea derivată, ca să nu vină cineva să spună că îmi trebuie pentru vreo temă. Aș vrea doar să știu dacă această funcție are sau nu derivată.

Esti nebun?

Am cautat cateva imagini pe internet sa imi fac o idee despre cum arata evolventa asta. Pare ca e o functie continua pe intervale deci nu vad de ce nu ar fi derivabila cel putin pe acele intervale.

Ai observat că funcția nu are o expresie de gen y = f(x).

Nu am cautat functia. Din moment ce nu ai precizat care este am presupus ca nu e necesara informatia.

Presupunerea mea a foat ca exista trei functii pe intervale diferite.
Un interval pe care ai o functie crescatoare, un altul pe care functia are tangenta zero, si un interval pe care o alta functie descreste.

Ar trebuie verificata continuitatea in punctele de cotitura.


Daca spui ca dupa functia asta subt modelati dintii rptilor dintate atunci nu vad de ce ar avea discontonuitati. Probabil e contonua pe tot intervalul, deci si derivabila. Asta era logica pe care trebuia sa o aplic?

Să-ți spun la ce m-am gândit când am pus întrebarea asta. Sunt unele funcții, între care și evolventa asta, a căror formulă nu se poate reda în forma clasică y = f(x). În engleză evolventa este involute. Caută pe net "involute formula" și vei vedea că atât x cât și y se exprimă în funcție de un al treilea parametru, notat cu t (unghiul în radiani). Și nu văd cum s-ar putea calcula derivata în astfel de cazuri. Am impresia că efectiv nu se poate. Și ăsta ar fi motivul pentru care derivata evolventei nu apare pe niciun tabel cu derivate. Funcția este continuă, într-adevăr, deci aparent ar trebui să fie derivabilă. Dar cum?

Amuzant este ca ai scris un roman in care explici notiuni de baza despre derivata, pe care le cunoaste aproape toata lumea.
Dar despre evolventa aceasta, care are o definitie atat de neortodoxa si despre care nu a auzit nimeni nimic nu ne dai nici macar un singur indiciu.

https://ro.wikipedia.org/......vent%C4%83

In poza de mai sus, functia pe baza careia sunt generate evolventele este o parabola.
Tangentele la parabola respectiva, din fiecare punct al ei, determina forma evolventei.
Dar pare ca este o relatie foarte clara intre tangenta evolventei si tangenta parabolei. Cele doua drepte sunt perpendiculare(?)
Din moment ce pot cunoaste panta tangentei in orice punct al acelei parabole (prin derivare), nu inteleg de ce nu as putea cunoaste si panta tangentei in orice punct al evolventei, din moment ce tangentele sunt perpendiculare una pe alta. Iar daca pot cunoaste asta inseamna ca pot deriva evolventa. Unde gresesc?

"In poza de mai sus, functia pe baza careia sunt generate evolventele este o parabola."
Ar putea fi și cerc (în loc de parabolă)?
Late edit:
Și, fiindcă m-ai întrebat unde greșești, uite aici una din greșeli: "...pe care le cunoaste aproape toata lumea."